Magic Line - 题解

标签与难度

标签: 几何, 排序, 构造, 分治思想, 计算几何入门难度: 1400

题目大意喵~

米娜桑，こんにち喵！(ฅ'ω'ฅ)

这道题是说，在一个二维平面上，散落着 N 个不同的点点。我们的任务是画一条“魔法直线”，把这些点点正好分成数量相等的两半，也就是每半边各有 N/2 个点。还有一个重要的要求，就是这条直线不能穿过任何一个点哦！

输入会告诉我们点的数量 N 和每个点的坐标 (x, y)。我们需要输出两个点的坐标，这两个点可以定义出那条满足条件的魔法直线。

举个栗子，如果有4个点，我们就要画一条线，让线的两边各有2个点，而且线不能碰到任何点。很简单吧？喵~

解题思路分析

这道题看起来像是一道几何题，但其实核心思想非常简单，就像猫猫找到最舒服的打盹位置一样，我们只需要找到一个最舒服的“分割位置”就可以啦，喵！

要把点分成“左边”和“右边”两部分，最直观的想法是什么呢？当然是根据它们的 x坐标 来排排坐啦！

第一步：排序

我们可以把所有的 N 个点，都按照 x 坐标从小到大进行排序。如果 x 坐标相同，那就再按照 y 坐标从小到大排序。这样一来，所有的点点就整齐地从左到右（或者从下到上）排列好了。

排序后，我们就有了一个点序列 $P_0, P_1, \dots, P_{N-1}$ 。因为我们要把它们分成数量相等的两半，所以分割线自然就应该出现在最中间的两个点之间，也就是点 $P_{N/2-1}$ 和点 $P_{N/2}$ 之间。

我们把这两个关键的点叫做 p_left_half_end 和 p_right_half_start 吧，听起来就很专业，的说！

p_left_half_end 是前半部分点中，最“右”的一个。 p_right_half_start 是后半部分点中，最“左”的一个。

现在问题就变成了：如何画一条线，把 p_left_half_end 和它左边的所有点，与 p_right_half_start 和它右边的所有点分开呢？

这里就需要一点点分类讨论的智慧啦，就像猫猫决定今天是在窗边晒太阳还是在沙发上打滚一样，需要根据情况选择最佳策略，喵~

Let's denote p_left_half_end as $P_a = (x_a, y_a)$ and p_right_half_start as $P_b = (x_b, y_b)$ .

情况一： $x_a < x_b$

这是最简单的情况！两个关键点的 x 坐标不同，说明在 x 轴上，两组点之间存在一条“垂直的空隙”。所有前半部分的点的 x 坐标都 $\le x_a$ ，所有后半部分的点的 x 坐标都 $\ge x_b$ 。

我们只需要画一条线，穿过 $x_a$ 和 $x_b$ 之间的区域就可以啦！

一个非常巧妙的构造方法是：取两个点来定义这条线，一个在 $x=x_a$ 的垂线上，另一个在 $x=x_b$ 的垂线上。比如，我们可以取点 $L_1 = (x_a, \text{一个很大的正数})$ 和点 $L_2 = (x_b, \text{一个很大的负数})$ 。

L_1 = (x_a, 10^9) \\ L_2 = (x_b, -10^9)

连接 $L_1$ 和 $L_2$ 的直线会非常非常陡峭，它的 x 轴截距（也就是与 x 轴的交点）正好是 $(x_a + x_b) / 2$ 。这条线完美地从两组点之间的空隙穿过，绝对不会碰到任何点，任务完成，喵~

情况二： $x_a = x_b$

这种情况稍微复杂一点点。当 $x_a = x_b$ 时，说明最中间的这两个点，以及可能还有其他一些点，都在同一条垂直线上。我们称这个公共的 x 坐标为 $x_c$ 。

因为我们排序时，如果 x 相同会按 y 排序，所以我们一定有 $y_a < y_b$ 。

现在，我们不能用垂直线来分割了，因为它会穿过这些点。我们需要一条几乎水平的线，让它从点 $P_a = (x_c, y_a)$ 和点 $P_b = (x_c, y_b)$ 之间的“水平空隙”穿过。

怎么构造呢？我们可以让这条线在 $x=x_c$ 处，其 y 坐标恰好位于 $y_a$ 和 $y_b$ 的中间，也就是 $(y_a + y_b) / 2$ 。

为了用两个整数坐标的点来定义这条线，我们可以这样做：取点 $L_1 = (x_c - 1, y_b)$ 和点 $L_2 = (x_c + 1, y_a)$ 。

这条线通过点 $(x_c-1, y_b)$ 和 $(x_c+1, y_a)$ 。让我们看看当 $x = x_c$ 时，这条线的 y 坐标是多少。根据中点公式，它正好是 $y_b$ 和 $y_a$ 的平均值，即 $(y_a + y_b) / 2$ ！

因为 $y_a < (y_a + y_b) / 2 < y_b$ ，所以这条线在 $x=x_c$ 处，恰好从 $P_a$ 和 $P_b$ 之间穿过。而且这条线非常平缓，它几乎是水平的，不会碰到其他任何点，非常安全，喵！

这样，两种情况都被我们完美解决啦！是不是感觉自己也充满了魔力呢？(ฅ^•ﻌ•^ฅ)

代码实现

下面就是我根据上面的思路，精心为您准备的代码实现啦！注释写得很详细，希望能帮助你理解哦~

cpp

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

// 为了清晰，我们定义一个点的结构体，喵~
struct Point {
    long long x, y;
};

// 排序时需要一个比较函数
// 先按 x 坐标排，如果 x 相同，再按 y 坐标排
bool comparePoints(const Point& a, const Point& b) {
    if (a.x != b.x) {
        return a.x < b.x;
    }
    return a.y < b.y;
}

void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<Point> points(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        std::cin >> points[i].x >> points[i].y;
    }

    // 第一步：对所有点进行排序
    std::sort(points.begin(), points.end(), comparePoints);

    // 找到分割两半的关键点
    // 因为是0-based索引，所以是 n/2 - 1 和 n/2
    Point p_left_half_end = points[n / 2 - 1];
    Point p_right_half_start = points[n / 2];

    // 情况一：中间两个点的 x 坐标不同
    if (p_left_half_end.x < p_right_half_start.x) {
        // 构造一条非常陡峭的线，它在 x 轴的截距在两者之间
        // 我们可以取一个很大的Y值来确保它足够陡峭，不会碰到其他点
        long long large_y = 2000000000;
        // 输出定义这条线的两个点
        std::cout << p_left_half_end.x << " " << large_y << " "
                  << p_right_half_start.x << " " << -large_y << std::endl;
    } 
    // 情况二：中间两个点的 x 坐标相同
    else {
        // 此时 p_left_half_end.x == p_right_half_start.x
        // 并且因为排序规则，一定有 p_left_half_end.y < p_right_half_start.y
        // 我们构造一条几乎水平的线，让它从两个点中间穿过
        long long common_x = p_left_half_end.x;
        // 这条线会经过 (common_x, (p_left_half_end.y + p_right_half_start.y)/2)
        // 这是一个非常安全和巧妙的构造方法，喵~
        std::cout << common_x - 1 << " " << p_right_half_start.y << " "
                  << common_x + 1 << " " << p_left_half_end.y << std::endl;
    }
}

int main() {
    // 加速输入输出，让程序跑得像猫一样快！
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    int t;
    std::cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度: $O(N \log N)$ 主要的时间开销在于对 N 个点进行排序，std::sort 的平均时间复杂度是 $O(N \log N)$ 。剩下的操作都是常数时间 $O(1)$ 的，所以总的时间复杂度就是排序的复杂度，的说。
空间复杂度: $O(N)$ 我们需要一个 std::vector 来存储 N 个点的信息，所以空间复杂度是 $O(N)$ 。没有使用其他需要大量空间的辅助数据结构，喵~

知识点总结

这道题虽然简单，但也是对思维的一个小小锻炼呢！我们来总结一下学到了什么吧：

排序思想: 面对一堆无序的点，排序是解决很多几何问题的基本且强大的第一步。通过排序，我们可以将问题从无序变为有序，从而发现规律。
分治与构造: 我们通过排序找到了问题的“中点”，然后针对这个中点构造出解。这种“找到关键点，然后构造解”的思路在算法竞赛中非常常见。
处理边界情况 (Edge Cases): 我们需要仔细考虑 $x_a < x_b$ 和 $x_a = x_b$ 这两种情况。在编程中，清晰地处理各种边界情况是写出健壮代码的关键，就像猫猫总能找到最稳当的着陆点一样，喵~
几何构造技巧: 学会了如何用两个整数点来定义一条满足特定条件的直线（比如，穿过某两个点之间的中点，或者穿过某两个 x 坐标之间的区域）。

希望这篇题解能帮助你更好地理解这道题！继续加油哦，你也是最棒的，喵！(>ω<)ﾉ

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解题思路分析 ​

代码实现 ​

复杂度分析 ​