峡国西高校 (easy version) - 题解

标签与难度

标签: 数学, 进制转换, 模拟, 大数处理 难度: 1200

题目大意喵~

主人你好呀，喵~ 这道题是关于一种特殊的运算规则哦！

我们有两个正整数 $A$ 和 $B$，还有一个进制数 $k$。题目定义了一种叫做“$k$进制异或和”的运算，它其实就是在 $k$ 进制下的“不进位加法”。

具体来说，就是要把 $A$ 和 $B$ 都转换成 $k$ 进制数，然后把它们对应位上的数字相加，再对 $k$ 取模，得到结果的对应位数字。最后，再把这个 $k$ 进制的结果转换回十进制，就是我们要求的答案啦！

举个栗子🌰：如果 $A=7, B=8, k=3$。

1. 先把它们变成三进制数：
   • $7 = 2 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = (21)_3$
   • $8 = 2 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^0 = (22)_3$
2. 然后进行不进位加法：

     (2 1)_3
   + (2 2)_3
   ---------- (对 3 取模)
     (1 0)_3

   • 个位：$(1+2) \pmod 3 = 0$
   • 高位：$(2+2) \pmod 3 = 1$
3. 得到的结果是 $(10)_3$。
4. 最后把 $(10)_3$ 变回十进制：$1 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0 = 3$。 所以，答案就是 3 啦，是不是很有趣呢，喵~？

解题思路分析

这道题的核心就是模拟这个“$k$进制不进位加法”的过程，呐。

一个很自然的想法是：

1. 写一个函数，把十进制的 $A$ 和 $B$ 分别转换成 $k$ 进制，用数组存起来。
2. 对齐这两个数组（在短的那个前面补0），然后逐位相加再对 $k$ 取模，得到一个新的结果数组。
3. 再写一个函数，把这个结果数组从 $k$ 进制转换回十进制。

这个方法当然是可以的，但我有更直接、更优雅的办法哦！我们可以把“取位”、“计算”、“累加”这三个步骤合并在一个循环里完成，这样就不需要额外的数组来存储中间结果了，既省空间又快捷，喵~

我们可以想一下，一个十进制数 $N$ 在 $k$ 进制下的最低位（个位）是什么呢？就是 $N \pmod k$ 呀！那去掉最低位后的数又是什么呢？就是 $N / k$（整除）嘛！

利用这个性质，我们可以这样做：

1. 我们设置一个变量 result 来存放最终的十进制答案，初始为0。
2. 再设置一个变量 power_of_k，它代表当前处理的是 $k$ 进制的哪一位的权重。一开始是最低位，所以 power_of_k 初始为 $1$ (也就是 $k^0$)。
3. 然后我们开始一个循环，只要 $A$ 或者 $B$ 还不为0，就说明还有位要处理：
   • 取出 $A$ 在 $k$ 进制下的当前最低位：digit_a = A % k。
   • 取出 $B$ 在 $k$ 进制下的当前最低位：digit_b = B % k。
   • 计算结果在这一位上的数字：new_digit = (digit_a + digit_b) % k。
   • 把这一位对最终答案的贡献加到 result 上：result += new_digit * power_of_k。
   • 处理完这一位后，我们要“削掉” $A$ 和 $B$ 的最低位，准备处理下一位：A /= k，B /= k。
   • 同时，下一位的权重也变了，所以要更新 power_of_k：power_of_k *= k。
4. 当 $A$ 和 $B$ 都变成0时，循环结束，result 里就是我们想要的答案啦！

这个过程就像我们用爪子从右到左，一位一位地把两个数的 $k$ 进制表示扒拉出来，算出新的一位，然后立刻把它按权重加到最终结果里。这样一步到位，非常高效的说！

另外，题目中 $A$ 和 $B$ 的值最大可以到 $10^{18}$，所以我们在用 C++ 写代码的时候，一定要用 long long 类型来存它们和结果，不然会溢出导致答案错误哦，这是个小陷阱，要小心喵！

代码实现

这是我根据上面的思路，精心为你准备的C++代码，注释超详细的哦！

#include <iostream>

// 这是一个乐于助人的我为你写的代码，喵~

int main() {
    // 为了让输入输出更快一点，这是个小魔法！
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    long long k, a, b;
    // 从标准输入读取进制k和两个数字a, b
    std::cin >> k >> a >> b;

    // result 用来存储最终的十进制结果
    long long result = 0;
    // power_of_k 代表当前处理的位的权重，即 k^0, k^1, k^2, ...
    long long power_of_k = 1;

    // 只要 a 或 b 中还有未处理的位，就继续循环
    while (a > 0 || b > 0) {
        // 1. 获取 a 和 b 在 k 进制下的当前最低位
        long long digit_a = a % k;
        long long digit_b = b % k;

        // 2. 计算 k 进制不进位加法的结果位
        long long new_digit = (digit_a + digit_b) % k;

        // 3. 将这一位的值加到最终结果中
        //    new_digit 是当前位的数字，power_of_k 是它的权重
        result += new_digit * power_of_k;

        // 4. "削掉" a 和 b 的最低位，准备处理下一位
        a /= k;
        b /= k;

        // 5. 更新权重，为下一位做准备
        power_of_k *= k;
    }

    // 输出最终计算出的权重
    std::cout << result << std::endl;

    return 0;
}

复杂度分析

• 时间复杂度: $O(\log_k(\max(A, B)))$ 我们的循环在每次迭代时都会将 $A$ 和 $B$ 除以 $k$。循环的次数取决于 $A$ 和 $B$ 中较大者在 $k$ 进制下的位数。一个数 $N$ 在 $k$ 进制下的位数大约是 $\log_k N$。所以，时间复杂度就是 $O(\log_k(\max(A, B)))$，这是一个非常快的速度呢，喵！

• 空间复杂度: $O(1)$ 我们在算法中只使用了几个固定数量的变量（k, a, b, result, power_of_k），没有使用任何随输入规模增大的数据结构（比如数组）。所以，额外占用的空间是常数级别的，空间复杂度是 $O(1)$ 的说。

知识点总结

这道题虽然简单，但也是对基本功的一次很好的检验呢！

1. 进制转换思想: 核心思想是理解不同进制之间转换的原理，特别是如何通过取模和整除操作来逐位处理一个数。
2. 模拟: 题目给出了一个明确的计算规则，我们只需要按照规则一步步实现即可。这是算法竞赛中很常见的一类问题。
3. 迭代计算: 通过一个循环，同时进行“拆解”和“构建”的操作，避免了创建庞大的中间数据结构，是一种非常高效和优雅的编程技巧。
4. 大数处理: 注意到输入数据的范围（$10^{18}$），并选择合适的整数类型（C++中的 long long）是成功解题的关键一步，否则很容易因为溢出而得到错误答案，要时刻保持警惕哦，喵~

希望这篇题解能帮到你！继续加油，探索更多算法的奥秘吧，喵~！