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金条切割 - 题解 ​

标签与难度 ​

标签: 数学, 位运算, 二进制, 贪心, 思维题, 脑筋急转弯 难度: 1200

题目大意喵~ ​

主人，你好呀~！这道题是说，我们有一根长度为 LL 的金条，需要支付给一个工人接下来 MM 天的工资，喵。规则很特别哦：在第 jj 天结束的时候，工人手里必须正好有 jj 个单位的金子。我们可以像变魔术一样，给工人金子，也可以从工人那里把之前给过的金子要回来“找零”。我们的任务是，计算出最少需要把金条切多少刀，才能完成这 MM 天的支付任务，呐。

举个栗子，如果要支付7天的工资，我们可以把金条切成1、2、4三段（切2刀）。

  • 第一天：给工人1。
  • 第二天：给工人2，要回1。工人手里有2。
  • 第三天：再给工人1。工人手里有1和2，总共3。 ...以此类推，我们总能凑出当天需要的数量，喵~

解题思路分析 ​

这道题的核心思想，就像题目里提示的那样，和二进制有着奇妙的联系哦，喵！

1. 如何凑出任意金额？ ​

要能够在第 jj 天让工人拥有 jj 单位的黄金，意味着我们需要有能力凑出从 11 到 MM 的任意一个整数。怎样用最少的金条块来做到这一点呢？

答案就是使用2的幂作为金条块的重量！也就是 20,21,22,23,…2^0, 2^1, 2^2, 2^3, \dots 即 1,2,4,8,…1, 2, 4, 8, \dots。 为什么这样最有效率呢？因为任何一个正整数都可以被唯一地表示为一系列2的幂的和。这正是我们计算机世界里二进制表示法的基础呀，喵~

比如，数字 1313 的二进制是 1101，它就等于 8+4+0+18 + 4 + 0 + 1，也就是 23+22+202^3 + 2^2 + 2^0。如果我们手上有重量为1, 2, 4, 8的金条块，就可以轻松凑出1到15之间的任何重量啦！

2. 需要多少块金条？ ​

假设我们需要 k 块金条，它们的重量分别是 20,21,…,2k−12^0, 2^1, \dots, 2^{k-1}。利用这些金条，我们能凑出的最大金额是它们全部加起来的总和：

Smax=∑i=0k−12i=2k−1S_{max} = \sum_{i=0}^{k-1} 2^i = 2^k - 1

为了能支付到第 MM 天，我们凑出的最大金额必须至少是 MM。所以，我们需要找到一个最小的 k，使得：

2k−1≥M2^k - 1 \ge M

这个 k 就是我们为了完成任务，理论上需要的最少金条块数。

3. 从“块数”到“切割次数” ​

找到了需要的块数 k，是不是切 k-1 刀就完事了呢？嘿嘿，这里有个小小的陷阱，就是金条的总长度 LL 的说。

我们来分两种情况讨论一下，喵~

情况一：金条很长，足够我们“挥霍” (L > 2^k - 1)

我们需要的理想金条块是 1,2,4,…,2k−11, 2, 4, \dots, 2^{k-1}，它们的总长度是 2k−12^k - 1。 如果我们的金条总长度 LL 比这个理想总长大，那真是太棒啦！我们可以从金条上依次切下这 k 块。切完之后，金条还会剩下一段，长度是 L−(2k−1)L - (2^k - 1)。 所以，我们最终得到了 k 块理想金条 + 1 块剩余金条 = k+1 块。 要把一根金条变成 k+1 块，需要切多少刀呢？当然是 k 刀啦！

情况二：金条长度有限 (L <= 2^k - 1)

如果金条的总长度 LL 并不比我们理想中需要的 2k−12^k-1 更长，我们就没办法切出所有 1,2,4,…1, 2, 4, \dots 的理想金条块了。 但是，我们真的需要这些理想的金条块吗？不一定！我们只需要保证手头的金条块能凑出 11 到 MM 的任意整数。 要凑出 MM 这么多种可能，我们分析过至少需要 k 块金条。（如果只有 k-1 块，最多只能凑出 2k−1−12^{k-1}-1 的金额，这是小于 MM 的，不够用哦）。 所以，我们还是需要把现有的长度为 LL 的金条分成 k 块。比如，我们可以切出 1,2,4,…,2k−21, 2, 4, \dots, 2^{k-2}，然后最后一块就是剩下的所有，即 L−(2k−1−1)L - (2^{k-1}-1)。用这 k 块，我们同样可以完成任务。 要把一根金条分成 k 块，只需要切 k-1 刀就够了，喵~

总结一下思路： ​

  1. 找到满足 2k−1≥M2^k - 1 \ge M 的最小整数 k。这个 k 就是我们最少需要的金条块数。
  2. 计算出这 k 块理想金条的总长度 S=2k−1S = 2^k - 1。
  3. 比较我们拥有的金条总长度 LL 和理想总长度 SS：
    • 如果 L>SL > S，说明我们切完理想金条后还有剩余，总共会产生 k+1 块，所以需要切 k 刀。
    • 如果 L≤SL \le S，说明我们的金条要么刚刚好，要么不够长来切出所有理想块。但我们依然需要 k 块来保证支付能力，所以我们把整根金条切成 k 块，只需要 k-1 刀。

这样一来，问题就迎刃而解啦！

代码实现 ​

这是我根据上面的思路，精心为你准备的一份C++代码，注释超详细的哦，喵~

cpp
#include <iostream>

// 我是我，我来解决这个问题，喵~
void solve() {
    long long len, m;
    std::cin >> len >> m;

    // Step 1: 寻找最小的块数 k, 使得用这 k 块可以凑出 1 到 m 的所有金额
    // 最优策略是使用 2 的幂次作为块的大小 (1, 2, 4, ...)。
    // k 块这样的金条能凑出的最大金额是 2^k - 1。
    // 我们需要找到最小的 k，满足 2^k - 1 >= m。
    int k = 0;
    long long max_payable_amount = 0;
    
    // 这个循环会找到最小的 k
    // k=1, max_payable_amount = 1
    // k=2, max_payable_amount = 3
    // k=3, max_payable_amount = 7
    // ...
    // 循环条件 `max_payable_amount < m` 确保了我们找到的 k 是最小的那个
    while (max_payable_amount < m) {
        k++;
        // max_payable_amount = 2 * max_payable_amount + 1; // 这样可以避免使用pow和位移
        // 使用位运算更酷一些，也更高效！1LL << k 表示 2^k，LL确保是long long类型
        max_payable_amount = (1LL << k) - 1;
    }

    // Step 2: 根据金条总长度 len 和理想总长 max_payable_amount 的关系，决定切割次数
    
    // 理想情况下，我们需要 k 块金条，它们的总长度是 max_payable_amount (也就是 2^k - 1)。
    long long ideal_sum_of_pieces = max_payable_amount;

    // Case 1: 如果我们的金条长度 > 理想总长
    // 我们可以切出 1, 2, 4, ..., 2^(k-1) 这 k 块，并且还有剩余。
    // 总共就会有 k (理想块) + 1 (剩余块) = k+1 块。
    // 把一根金条切成 k+1 块，需要切 k 刀。
    if (len > ideal_sum_of_pieces) {
        std::cout << k << std::endl;
    } 
    // Case 2: 如果我们的金条长度 <= 理想总长
    // 我们无法切出全部的理想块，或者刚好切完。
    // 但我们仍然需要 k 块金条来保证支付能力（k-1块是不够的）。
    // 所以我们把长度为 len 的金条切成 k 块。
    // 把一根金条切成 k 块，需要切 k-1 刀。
    else { // len <= ideal_sum_of_pieces
        std::cout << k - 1 << std::endl;
    }
}

int main() {
    // 加速输入输出，让程序跑得像猫一样快！
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    int t;
    std::cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

复杂度分析 ​

  • 时间复杂度: O(log⁡M)O(\log M) 对于每一组测试数据，我们主要的操作是那个 while 循环。由于 m 最大约为 101810^{18}，而 260≈1.15×10182^{60} \approx 1.15 \times 10^{18}，所以循环变量 k 最多只会增加到60左右。因此，循环的次数非常少，其复杂度与 MM 的二进制位数成正比，即 O(log⁡M)O(\log M)。

  • 空间复杂度: O(1)O(1) 在整个计算过程中，我们只使用了几个变量（len, m, k, max_payable_amount等）来存储信息，没有使用任何随输入规模增大的数据结构。所以，空间复杂度是常数级别的，喵~

知识点总结 ​

这道题虽然伪装成了一个脑筋急转弯，但背后考察的是非常扎实的计算机科学基础知识，呐：

  1. 二进制思想: 解决“用最少数量的物品凑出一定范围内的所有数值”这类问题的万能钥匙，就是使用2的幂次作为物品的“面值”。
  2. 贪心策略: 我们总是贪心地选择能覆盖当前需求的最小块数 k。
  3. 分类讨论: 解题的关键一步是根据金条总长度 L 是否足够切出所有“理想”金块，来对最终的切割次数进行分类。这个细节决定了答案是 k 还是 k-1。
  4. 编码技巧: 在C++中，计算 2k2^k 时，使用位运算 1LL << k 比使用 pow 函数更高效，并且可以避免浮点数精度问题。

希望我的讲解对你有帮助哦！继续加油，算法的世界还有更多有趣的冒险等着我们去探索，喵~！