233的字符串 - 题解

标签与难度

标签: 组合数学, 数学, 费马小定理, 快速幂, 模块化算术, 求和公式, 动态规划难度: 1600

题目大意喵~

主人你好呀，喵~ ฅ(●'ω'●)ฅ

这道题是说，我们有一个正整数 $n$ ，然后我们要用它来生成一个字符串。方法就是把 "abc" 这个小片段重复 $n$ 次。比如说，如果 $n=3$ ，我们得到的字符串就是 "abcabcabc"。

我们的任务，就是在这个长长的字符串里，找出所有 "acb" 子序列的数量。

什么是子序列呢？就是从原来的字符串里，按顺序挑出几个字符组成的新序列。比如说，在 "abcdefg" 里，"bdf" 就是一个子序列哦！

所以，我们要找的就是，从字符串里先找一个 'a'，在它后面再找一个 'c'，最后在这个 'c' 后面再找一个 'b'。把所有可能的组合都数出来，就是答案啦！

因为答案可能会非常大，所以要记得对 $10^9 + 7$ 取模哦，喵~

解题思路分析

这道题看起来是在字符串里数数，但如果真的去生成那个长长的字符串，当 $n$ 很大的时候，肯定会超时和超内存的，对吧？所以我们得找一个更聪明的数学方法，喵！

这种数子序列个数的问题，有一个经典的小技巧哦！对于目标子序列 "acb"，我们可以遍历字符串，固定中间那个字符 'c' 的位置，然后数一数它前面有多少个 'a'，后面有多少个 'b'。

让我们来分析一下字符串的结构吧！这个字符串是 abcabc...abc，一共重复了 $n$ 次。我们可以把它看成是 $n$ 个 "abc" 块。为了方便，我们给这些块编号，从第 0 块到第 $n-1$ 块。

'a' 出现在第 $i$ 块的开头。
'b' 出现在第 $i$ 块的中间。
'c' 出现在第 $i$ 块的末尾。

现在，我们来固定 'c' 的位置。假设我们选择了第 $i$ 个块（ $i$ 从 $0$ 到 $n-1$ ）里的那个 'c'。

寻找 'a': 我们需要在这个 'c' 的前面找一个 'a'。这个 'c' 在第 $i$ 块，所以它前面的所有 'a' 都在第 $0, 1, \dots, i$ 这些块里。每个块里有一个 'a'，所以总共有 $i+1$ 个 'a' 可以选择，喵~
寻找 'b': 我们需要在这个 'c' 的后面找一个 'b'。这个 'c' 在第 $i$ 块，所以它后面的所有 'b' 都在第 $i+1, i+2, \dots, n-1$ 这些块里。一共有 $(n-1) - (i+1) + 1 = n-1-i$ 个块，所以就有 $n-1-i$ 个 'b' 可以选择。

根据乘法原理，如果我们固定了第 $i$ 块的 'c'，那么能构成的 "acb" 子序列就有 $(i+1) \times (n-1-i)$ 个。

为了得到总数，我们只需要把所有可能的 'c' 的情况加起来就好啦！'c' 可以取自第 0 块，第 1 块，...，一直到第 $n-1$ 块。所以，总数就是：

\text{Total} = \sum_{i=0}^{n-1} (i+1)(n-1-i)

现在，我们来化简这个求和公式，准备好小爪子来推导吧！为了方便计算，我们做一个变量替换，令 $k = i+1$ 。当 $i$ 从 $0$ 遍历到 $n-1$ 时， $k$ 就从 $1$ 遍历到 $n$ 。原式中的 $(n-1-i)$ 就变成了 $(n-1-(k-1)) = n-k$ 。所以求和式就变成了：

\text{Total} = \sum_{k=1}^{n} k(n-k) = \sum_{k=1}^{n} (nk - k^2)

利用求和的性质，我们可以把它拆开：

\text{Total} = \sum_{k=1}^{n} nk - \sum_{k=1}^{n} k^2 = n \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} k^2

这里用到了两个非常著名的求和公式，主人可要记住哦！

自然数求和公式： $\sum_{k=1}^{N} k = \frac{N(N+1)}{2}$
平方和公式： $\sum_{k=1}^{N} k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

把 $N=n$ 代入我们的式子：

\text{Total} = n \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) - \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)

通分一下，把分母都变成 6：

\text{Total} = \frac{3n^2(n+1)}{6} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

提取公因式 $\frac{n(n+1)}{6}$ ：

\text{Total} = \frac{n(n+1)}{6} [3n - (2n+1)]

\text{Total} = \frac{n(n+1)}{6} [3n - 2n - 1]

\text{Total} = \frac{n(n+1)(n-1)}{6}

哇！公式变得好简洁呀，喵！就是 $\frac{(n-1)n(n+1)}{6}$ 。这其实就是组合数 $C(n+1, 3)$ 哦！

最后一步：处理模运算

我们的最终公式是 $\frac{(n-1)n(n+1)}{6}$ 。在程序里计算时，要进行模运算。除以 6 怎么办呢？我们不能直接 / 6，因为这会丢失精度。在模算术里，除以一个数等于乘以它的模逆元。因为模数 $10^9+7$ 是一个质数，我们可以用费马小定理来求 6 的逆元。费马小定理说，如果 $p$ 是质数，那么对于任意整数 $a$ ，有 $a^p \equiv a \pmod{p}$ 。如果 $a$ 不是 $p$ 的倍数，则有 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ 。从 $a \cdot a^{p-2} \equiv 1 \pmod{p}$ 可以看出， $a$ 的模 $p$ 逆元就是 $a^{p-2} \pmod{p}$ 。所以，6 的逆元就是 $6^{10^9+7-2} \pmod{10^9+7}$ 。我们可以用快速幂算法来高效地计算它。

于是，最终的计算步骤是：

计算 $n-1, n, n+1$ 。
计算 $6$ 的模逆元，即 power(6, MOD - 2)。
将这四项相乘，每一步都取模，就得到最终答案啦！

代码实现

这是我根据上面的思路，精心为你准备的代码哦，喵~

cpp

#include <iostream>

// 使用 long long 来防止计算 n*(n-1)*(n+1) 时溢出
using ll = long long;

// 题目要求的模数
const int MOD = 1e9 + 7;

// 快速幂函数，用于计算 (base^exp) % mod
// 这是计算模逆元的核心工具喵~
ll power(ll base, ll exp) {
    ll res = 1;
    base %= MOD;
    while (exp > 0) {
        // 如果 exp 是奇数，需要把当前的 base 乘到结果里
        if (exp % 2 == 1) {
            res = (res * base) % MOD;
        }
        // base 自乘，exp 折半
        base = (base * base) % MOD;
        exp /= 2;
    }
    return res;
}

// 计算模逆元的函数
// 根据费马小定理，a 的模 p 逆元是 a^(p-2)
ll modInverse(ll n) {
    return power(n, MOD - 2);
}

int main() {
    // 为了更快的输入输出，喵~
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    ll n;
    std::cin >> n;

    // 根据我们的推导，公式是 (n * (n-1) * (n+1)) / 6
    // 我们需要计算 n, n-1, n+1 对 MOD 取模后的值

    // (n-1) % MOD，使用 (n - 1 + MOD) % MOD 来防止 n=1 时出现负数
    ll term1 = (n - 1 + MOD) % MOD;
    ll term2 = n % MOD;
    ll term3 = (n + 1) % MOD;

    // 计算 6 的模逆元
    ll inv6 = modInverse(6);

    // 把所有项乘起来，每一步都取模
    ll ans = 1;
    ans = (ans * term1) % MOD;
    ans = (ans * term2) % MOD;
    ans = (ans * term3) % MOD;
    ans = (ans * inv6) % MOD;

    std::cout << ans << std::endl;

    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度: $O(\log(\text{MOD}))$ 我们的计算主要耗时在快速幂求模逆元上。快速幂算法的时间复杂度是对指数取对数，所以是 $O(\log(\text{MOD}))$ 。其他的乘法和取模都是常数时间操作。所以总的时间复杂度就是 $O(\log(\text{MOD}))$ ，非常快哦！
空间复杂度: $O(1)$ 我们只用了几个变量来存 n、模数和中间计算结果，没有使用额外的、随 n 增长的存储空间，所以空间复杂度是常数级别的，喵~

知识点总结

这道题虽然简单，但涉及到的知识点可是非常核心的呢！

组合计数思想: 解决计数问题时，"固定一部分，计算另一部分" 是一个非常强大的思想。在这里我们固定了子序列的中间元素 'c'，大大简化了问题。
求和公式: 熟练掌握常见的求和公式（如自然数和、平方和）是解决许多数学问题的利器。
模块化算术: 在处理可能溢出的大数问题时，全程使用模运算是基本操作。要记住 (a+b)%m = ((a%m)+(b%m))%m 和 (a*b)%m = ((a%m)*(b%m))%m。
模逆元: 在模算术中实现除法，就需要用到模逆元。当模数是质数时，费马小定理是求逆元的最佳伙伴。
快速幂: 它是计算 $a^b \pmod p$ 的标准算法，也是求模逆元的基础。每个会算法的我都应该掌握它！

希望这篇题解能帮到你，喵~ 如果还有不懂的地方，随时可以再来问我哦！( ´ ▽ ` )ﾉ

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