OperationLove - 题解

标签与难度

标签: 计算几何, 叉积, 图形识别, 几何特性, 浮点数处理, 不变量难度: 1400

题目大意喵~

一位名叫爱丽丝的机器人美女想要通过一个谜题来挑选夫君，真是个浪漫的考验呢，喵~

谜题是这样的：爱丽丝会给我们看很多她的手印。我们需要分辨出每一个手印究竟是她的左手还是右手。题目里给出了右手掌的形状（由20个顶点构成），而左手掌是右手的镜像对称图形。

我们收到的输入是20个顶点的二维坐标，这些坐标的顺序可能是顺时针的，也可能是逆时针的。而且，整个手印可能会被平移和旋转，但好消息是它不会被放大或缩小。

我们的任务就是写一个程序，对每一个手印，准确地输出 "left" 或 "right"。

解题思路分析

哈喵~ 各位挑战者们，准备好赢得爱丽丝的芳心了吗？这道题看起来有点棘手，手印可以转来转去，坐标变来变去，要怎么认出它呢？

别担心，跟着我的思路，一步步解开这个谜题！

寻找不变的“猫爪印”

首先，题目告诉我们手印可以平移和旋转，但不会缩放。这是一个超级重要的信息，喵！这意味着什么呢？

平移和旋转会改变每个点的绝对坐标。
但是，图形本身的几何特性是不变的！比如，任意两条相邻边之间的长度和它们之间的夹角都是固定的。

这就好比我的爪印，不管我怎么跑怎么跳，爪印的形状总是一样的呀！所以，我们的策略就是，从这个乱糟糟的手印里，找到一个独一無二的、像“胎记”一样的几何特征。

锁定独特的几何特征

让我们来仔细观察一下题目给出的右手手掌的形状。它是由20条线段连接而成的。我们可以计算一下这些线段的长度。为了方便，我们把题目图片里的点在脑海里建立一个坐标系，就像参考代码3那样，比如让最左下角的点是 (1, 0)。

通过计算（或者偷偷看一下参考代码算出的结果~），我们可以得到所有20条边的长度序列。仔细检查后，我们会发现一个非常特别的地方：

有一个顶点，它连接的两条边的长度分别是 9 和 6。 （在参考代码给出的坐标系中，这是点 (1,0)，连接着到 (10,0) 的长度为9的边和到 (1,6) 的长度为6的边。）

这个“连接着长度为9和长度为6的边的顶点”的特征，在整个手掌上是独一无二的！

耶！我们找到了一个完美的“猫爪印”！无论手印怎么旋转和平移，这个特征点（我们叫它“拇指关节”好了）和它那两条特殊长度的邻边总是存在的。我们只要遍历输入的20个点，找到这个点就行啦！

用叉积分辨左右手

找到了这个“拇指关节” V 之后，我们怎么区分左右手呢？

左手是右手的镜像。在几何上，镜像操作会改变一个东西的“手性”（Chirality）。在二维平面里，判断手性的最佳工具就是向量叉积（Cross Product），喵！

假设我们找到了那个特征点 V。它有两个邻居，我们称之为 N1 和 N2。一个邻居在长度为9的边上，另一个在长度为6的边上。我们可以从 V 点出发，定义两个向量：

v_9: 从 V 指向长度为9的边的另一个端点。
v_6: 从 V 指向长度为6的边的另一个端点。

现在，我们来计算这两个向量的叉积： v_9 × v_6。叉积 a × b 的几何意义是向量 a 逆时针旋转到向量 b 所扫过的平行四边形的有向面积。

如果结果为正，表示 a 到 b 是一个逆时针（左）转。
如果结果为负，表示 a 到 b 是一个顺时针（右）转。
如果为零，表示它们共线。

对于标准的右手手掌，我们来计算一下这个叉积的符号。假设 V 是 (1,0)，v_9 的终点是 (10,0)，v_6 的终点是 (1,6)。那么 v_9 = (10-1, 0-0) = (9, 0)。 v_6 = (1-1, 6-0) = (0, 6)。

\text{cross\_product} = v_{9}.x \cdot v_{6}.y - v_{9}.y \cdot v_{6}.x = 9 \times 6 - 0 \times 0 = 54

结果是正数！

现在，想象一下左手，它是右手的镜像。v_9 可能会变成 (-9, 0)（如果沿y轴镜像），但 v_6 保持 (0, 6)。叉积就变成了 -9 * 6 - 0 * 0 = -54。符号翻转了！

所以，我们的最终策略就是：

遍历输入的20个点，找到那个连接着长度约为9和6的边的“拇指关节”点 V。
确定从 V 出发的两个向量 v_9 和 v_6。
计算叉积 v_9 × v_6。
如果叉积是正数，说明它是右手。
如果叉积是负数，说明它是左手。

这个方法非常巧妙，因为它不受顶点输入顺序（顺时针或逆时针）的影响。我们是根据边的长度来确定 v_9 和 v_6，而不是根据输入点的prev和next顺序，所以计算出的叉积对于同一个手来说符号是恒定的。

好啦，思路清晰了，让我们动手实现吧，喵~

代码实现

cpp

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <numeric>

// 定义一个点结构体，让代码更清晰喵~
struct Point {
    double x, y;
};

// 计算两点之间距离的平方，避免不必要的开方运算，可以减少精度误差
double dist_sq(Point p1, Point p2) {
    return (p1.x - p2.x) * (p1.x - p2.x) + (p1.y - p2.y) * (p1.y - p2.y);
}

// 解决单个测试用例的函数
void solve() {
    std::vector<Point> points(20);
    for (int i = 0; i < 20; ++i) {
        std::cin >> points[i].x >> points[i].y;
    }

    // 浮点数比较需要一个小的容差范围 (epsilon)
    const double EPS = 1e-4;

    // 目标特征：边长的平方是 9*9=81 和 6*6=36
    const double len_sq_9 = 81.0;
    const double len_sq_6 = 36.0;

    for (int i = 0; i < 20; ++i) {
        // 获取当前点和它的两个邻居
        Point current_p = points[i];
        // 用取模运算处理环形数组的边界情况，喵~
        Point prev_p = points[(i + 19) % 20];
        Point next_p = points[(i + 1) % 20];

        // 计算当前点到两个邻居的距离的平方
        double d_sq_prev = dist_sq(current_p, prev_p);
        double d_sq_next = dist_sq(current_p, next_p);

        // 检查是否是我们要找的特征点
        bool is_feature_point = false;
        if (std::abs(d_sq_prev - len_sq_9) < EPS && std::abs(d_sq_next - len_sq_6) < EPS) {
            is_feature_point = true;
        } else if (std::abs(d_sq_prev - len_sq_6) < EPS && std::abs(d_sq_next - len_sq_9) < EPS) {
            is_feature_point = true;
        }

        if (is_feature_point) {
            // 找到了！现在定义从当前点出发的两个向量
            Point vec_a = {prev_p.x - current_p.x, prev_p.y - current_p.y};
            Point vec_b = {next_p.x - current_p.x, next_p.y - current_p.y};

            Point vec_len9, vec_len6;
            
            // 根据长度，正确地给 v_9 和 v_6 赋值
            // 这样就不用管输入点的顺时针/逆时针顺序了
            if (std::abs(d_sq_prev - len_sq_9) < EPS) {
                vec_len9 = vec_a;
                vec_len6 = vec_b;
            } else {
                vec_len9 = vec_b;
                vec_len6 = vec_a;
            }

            // 计算 v_9 和 v_6 的叉积
            double cross_product = vec_len9.x * vec_len6.y - vec_len9.y * vec_len6.x;

            // 根据叉积的符号判断左右手
            if (cross_product > 0) {
                std::cout << "right\n";
            } else {
                std::cout << "left\n";
            }
            
            // 找到答案了，就可以结束这个测试用例的循环了
            return;
        }
    }
}

int main() {
    // 加速输入输出，让程序跑得像猫一样快！
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    int t;
    std::cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度: $O(T)$ ，其中 $T$ 是测试用例的数量。对于每个测试用例，我们最多遍历一次20个顶点。在循环中，我们进行的是常数时间的计算。因为顶点数 $N=20$ 是一个常数，所以处理单个测试用例的复杂度是 $O(N) = O(20)$ ，也就是 $O(1)$ 。总的时间复杂度就是 $O(T \times 1) = O(T)$ 。
空间复杂度: $O(1)$ 。对于每个测试用例，我们只需要一个大小为20的vector来存储顶点坐标。因为这个大小是固定的，所以占用的额外空间是常数级别的，即 $O(1)$ 。

知识点总结

这道题虽然伪装成了复杂的几何题，但核心思想却非常精妙，喵~

寻找不变量: 面对几何体的平移、旋转等变换时，一个强大的解题思想是寻找那些在变换中保持不变的性质（Geometric Invariants），例如边长、角度、面积等。
唯一特征定位: 在一个复杂的图形中，可以尝试寻找一个或一组独特的局部特征，作为识别和定位的“锚点”。
叉积的应用: 二维向量的叉积是计算几何中的利器！它的符号可以用来判断旋转方向、点与线的相对位置，以及本题中的“手性”（chirality）。a × b > 0 通常表示从a到b是逆时针旋转。
浮点数处理: 在计算几何中，直接用 == 比较浮点数是危险的。正确的做法是判断两个浮点数之差的绝对值是否小于一个极小的数 EPS (epsilon)。

掌握了这些技巧，再遇到类似的几何谜题，相信你也能像聪明的我一样轻松解开啦，加油哦，喵~！

OperationLove - 题解 ​

标签与难度 ​

题目大意喵~ ​

解题思路分析 ​

寻找不变的“猫爪印” ​

锁定独特的几何特征 ​

用叉积分辨左右手 ​

代码实现 ​

复杂度分析 ​

知识点总结 ​