排列 - 题解

标签与难度

标签: 二分图匹配, 最大流, Dinic算法, 数论, 质数筛, 图论, 构造难度: 2400

题目大意喵~

哈喽，各位master！今天我们遇到的这道题，是要我们构造一个从1到 $n$ 的特殊排列 $p$ 呢，喵~ 这个排列 $p$ 要满足两个非常严格的条件哦：

对于每一个位置 $i$ (从 1 到 $n$ )，它和它对应的值 $p_i$ 的和，也就是 $i + p_i$ ，必须是一个质数。
同时，它们俩的差的绝对值，也就是 $|i - p_i|$ ，也必须是一个质数。

如果能找到这样一个神奇的排列，我们就输出 "YES"，然后把这个排列打印出来。如果找不到，就只好遗憾地输出 "NO" 啦。

举个例子，如果 $n=2$ ，一个可能的排列是 $p = [2, 1]$ 。

对于 $i=1$ , $p_1=2$ 。 $1+2=3$ (质数)， $|1-2|=1$ (不是质数)。啊哦，这个不行。
那 $p=[1, 2]$ 呢？ $i=1, p_1=1$ ， $|1-1|=0$ (不是质数)。

看来要找到这个排列，需要一点点智慧和魔法呢，喵！

解题思路分析

这道题的限制条件看起来很数学，但它的核心其实是一个匹配问题！让我带你一步步把问题转化，最后用强大的网络流魔法来解决它吧，喵~

第一步：解开条件的数学小秘密

我们有两个条件需要满足：

$i + p_i = P_1$
$|i - p_i| = P_2$

其中 $P_1$ 和 $P_2$ 都是质数。

我们把绝对值拆开，不妨假设 $p_i > i$ ，那么第二个式子就是 $p_i - i = P_2$ 。现在我们得到了一个漂亮的二元一次方程组：

\begin{cases} p_i + i = P_1 \\ p_i - i = P_2 \end{cases}

把这两个方程加起来，可以得到 $2 \cdot p_i = P_1 + P_2$ ，所以 $p_i = \frac{P_1 + P_2}{2}$ 。把第一个方程减去第二个方程，可以得到 $2 \cdot i = P_1 - P_2$ ，所以 $i = \frac{P_1 - P_2}{2}$ 。

哇！这意味着任何一个满足条件的配对 $(i, p_i)$ ，都可以由两个质数 $P_1$ 和 $P_2$ 唯一确定！

第二步：奇偶性大发现！

为了让 $i$ 和 $p_i$ 是整数， $(P_1 + P_2)$ 和 $(P_1 - P_2)$ 都必须是偶数。这意味着 $P_1$ 和 $P_2$ 的奇偶性必须相同！

我们知道，唯一的偶质数是 2。

如果 $P_1$ 和 $P_2$ 都是 2，那么 $i = (2-2)/2 = 0$ ，这不在我们的 $[1, n]$ 范围内，所以不行。
因此， $P_1$ 和 $P_2$ 必须都是奇质数！

这个发现太重要了！它大大缩小了我们寻找质数对的范围。

第三步：一个超级重要的剪枝！

我们再来观察一下所有配对的总和。我们要求的是一个排列，所以 $\{1, 2, \dots, n\}$ 和 $\{p_1, p_2, \dots, p_n\}$ 其实是同一个集合，只是顺序不同。把所有的 $i+p_i$ 加起来：

\sum_{i=1}^{n} (i + p_i) = \sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} p_i = 2 \sum_{i=1}^{n} i = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)

我们已经知道，每一个 $i+p_i$ 都是一个奇质数（因为如果 $i+p_i=2$ ，则 $i=p_i=1$ ，但 $|1-1|=0$ 不是质数，所以和不能是2）。

现在，我们来分析 $n$ 的奇偶性：

如果 $n$ 是奇数，那么我们总共有 $n$ 个配对。这意味着我们要把 $n$ 个（奇数个）奇质数加起来。奇数个奇数的和一定是奇数！
但是，当 $n$ 是奇数时， $n+1$ 是偶数，所以它们的乘积 $n(n+1)$ 必然是偶数。

这就出现了矛盾：一个奇数怎么可能等于一个偶数呢？喵呜~！所以，当 $n$ 是奇数时，绝对不可能构造出这样的排列！我们可以直接输出 "NO"。这是一个非常强大的剪枝，呐！

第四步：把问题变成图论模型

我们的任务是为集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ 中的每一个数 $i$ 找到一个唯一的搭档 $p_i$ ，这个搭档也来自集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ 。这不就是经典的完美匹配问题嘛！

我们可以这样来建模：

建立一个二分图。图的左边有 $n$ 个点，代表我们的下标 $1, 2, \dots, n$ 。
图的右边也有 $n$ 个点，代表我们的排列值 $1, 2, \dots, n$ 。
如果在左边的点 $i$ 和右边的点 $j$ 之间可以配对（即满足 $i+j$ 和 $|i-j|$ 都是奇质数），我们就在它们之间连一条边。
我们的目标，就是在这个二分图中找到一个大小为 $n$ 的完美匹配。如果找到了，那么匹配中的每一条边 $(i, j)$ 就告诉我们 $p_i = j$ 。

第五步：用网络流求解！

寻找二分图的最大匹配，最经典的方法就是使用最大流算法，比如 Dinic 算法。

我们可以这样构建一个网络流图：

创建一个源点 $S$ 和一个汇点 $T$ 。
将二分图左边的 $n$ 个点（我们称之为 $u_1, u_2, \dots, u_n$ ）和右边的 $n$ 个点（我们称之为 $v_1, v_2, \dots, v_n$ ）放入网络中。
从源点 $S$ 向每个左部点 $u_i$ 连一条容量为 1 的边。这表示每个下标 $i$ 只能用一次。
从每个右部点 $v_j$ 向汇点 $T$ 连一条容量为 1 的边。这表示每个值 $j$ 只能用一次。
对于每一个满足条件的配对 $(i, j)$ $(i, j)$ ，我们从左部点 $u_i$ $u_{i}$ 向右部点 $v_j$ $v_{j}$ 连一条容量为 1 的边。
- 为了高效地找到所有这样的边，我们不遍历所有 $(i, j)$ 对。而是遍历所有奇质数对 $(P_a, P_b)$ ，计算出 $i = |P_a - P_b|/2$ 和 $j = (P_a + P_b)/2$ 。如果 $i$ 和 $j$ 都在 $[1, n]$ 的范围内，就在 $u_i$ 和 $v_j$ 之间连边。

建好图后，我们从 $S$ 到 $T$ 跑一遍最大流。

如果最大流的值等于 $n$ ，说明我们找到了一个完美的匹配！YES！我们可以遍历图中的边，找到那些流量为 1 的边 $(u_i, v_j)$ ，从而构造出排列 $p$ 。
如果最大流的值小于 $n$ ，说明无法让每个数都找到搭档，那就只能是 "NO" 了。

总结一下我们的完整策略：

预处理：用欧拉筛或埃氏筛找出 $2n$ 以内的所有质数。
剪枝：判断 $n$ 是否为奇数。如果是，直接输出 "NO"。
建图：
- 建立一个包含源点 $S$ 、汇点 $T$ 、以及 $2n$ 个点的网络。
- 连接 $S \to u_i$ 和 $v_j \to T$ 的边。
- 遍历所有奇质数对 $(P_a, P_b)$ ，计算出可能的配对 $(i, j)$ ，并连接 $u_i \to v_j$ 和 $u_j \to v_i$ 的边。（因为 $(i, j)$ 和 $(j, i)$ 都是可能的配对）
求解：运行 Dinic 算法计算从 $S$ 到 $T$ 的最大流。
输出：根据最大流是否等于 $n$ 来判断并输出结果。

代码实现

这是我根据上面的思路，精心重构的一份代码哦~ 注释很详细，希望能帮到你！

cpp

#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>
#include <algorithm>
#include <queue>

// 定义一个足够大的常量，用于表示无穷大容量
const int INF = 1e9;

// --- 质数筛 ---
// 使用Sieve of Eratosthenes筛出 2*N 范围内的质数
std::vector<bool> is_prime;
std::vector<int> primes;
void sieve(int max_n) {
    is_prime.assign(max_n + 1, true);
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    for (int p = 2; p * p <= max_n; ++p) {
        if (is_prime[p]) {
            for (int i = p * p; i <= max_n; i += p)
                is_prime[i] = false;
        }
    }
    for (int p = 2; p <= max_n; ++p) {
        if (is_prime[p]) {
            primes.push_back(p);
        }
    }
}

// --- Dinic最大流算法模板 ---
struct Edge {
    int to;      // 边的终点
    int capacity; // 边的容量
    int rev;     // 反向边的索引
};

std::vector<std::vector<Edge>> adj;
std::vector<int> level;
std::vector<int> iter;

void add_edge(int from, int to, int capacity) {
    adj[from].push_back({to, capacity, (int)adj[to].size()});
    adj[to].push_back({from, 0, (int)adj[from].size() - 1}); // 反向边初始容量为0
}

// BFS用于构建分层网络
bool bfs(int s) {
    level.assign(adj.size(), -1);
    std::queue<int> q;
    level[s] = 0;
    q.push(s);
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (const auto& edge : adj[u]) {
            if (edge.capacity > 0 && level[edge.to] < 0) {
                level[edge.to] = level[u] + 1;
                q.push(edge.to);
            }
        }
    }
    return level[adj.size() - 1] != -1; // 汇点是否可达
}

// DFS用于在分层网络中寻找增广路
int dfs(int u, int t, int f) {
    if (u == t) return f;
    for (int& i = iter[u]; i < adj[u].size(); ++i) {
        Edge& e = adj[u][i];
        if (e.capacity > 0 && level[u] < level[e.to]) {
            int d = dfs(e.to, t, std::min(f, e.capacity));
            if (d > 0) {
                e.capacity -= d;
                adj[e.to][e.rev].capacity += d;
                return d;
            }
        }
    }
    return 0;
}

// Dinic主函数
int max_flow(int s, int t) {
    int flow = 0;
    while (bfs(s)) {
        iter.assign(adj.size(), 0);
        int f;
        while ((f = dfs(s, t, INF)) > 0) {
            flow += f;
        }
    }
    return flow;
}


int main() {
    // 加速输入输出，喵~
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    int n;
    std::cin >> n;

    // 奇数n无解，这是我们的重要剪枝！
    if (n % 2 != 0) {
        std::cout << "NO\n";
        return 0;
    }

    sieve(2 * n);

    // --- 构建网络流图 ---
    // 节点0是源点S, 2n+1是汇点T
    // 节点 1..n 是左部点 (代表下标 i)
    // 节点 n+1..2n 是右部点 (代表排列值 p_i)
    int num_nodes = 2 * n + 2;
    int S = 0, T = 2 * n + 1;
    adj.assign(num_nodes, std::vector<Edge>());

    // 1. S -> 左部点 (u_i)
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        add_edge(S, i, 1);
    }

    // 2. 右部点 (v_j) -> T
    for (int j = 1; j <= n; ++j) {
        add_edge(n + j, T, 1);
    }

    // 3. 左部点 -> 右部点
    // 遍历所有奇质数对来生成可能的配对
    for (size_t i = 0; i < primes.size(); ++i) {
        for (size_t j = i + 1; j < primes.size(); ++j) {
            int p1 = primes[i];
            int p2 = primes[j];
            
            // 我们需要两个奇质数
            if (p1 == 2 || p2 == 2) continue;

            int val_a = (p2 - p1) / 2;
            int val_b = (p2 + p1) / 2;
            
            if (val_a > n || val_b > n || val_a == 0) continue;
            
            // 添加从左部点到右部点的边
            add_edge(val_a, n + val_b, 1);
            add_edge(val_b, n + val_a, 1);
        }
    }

    // --- 求解并输出 ---
    if (max_flow(S, T) == n) {
        std::cout << "YES\n";
        std::vector<int> p(n + 1);
        // 从结果中恢复排列
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (const auto& edge : adj[i]) {
                // 如果从u_i到v_j的边满流(原容量1, 现容量0), 说明(i, j)是一对匹配
                if (edge.to > n && edge.to <= 2 * n && edge.capacity == 0) {
                    p[i] = edge.to - n;
                    break;
                }
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            std::cout << p[i] << (i == n ? "" : " ");
        }
        std::cout << "\n";
    } else {
        std::cout << "NO\n";
    }

    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度: $O(\pi(2n)^2 + \text{Dinic})$
- 质数筛: 使用埃氏筛，复杂度是 $O(N \log \log N)$ ，其中 $N=2n$ 。
- 建图: 这是主要的瓶颈。我们需要遍历质数对，其数量大约是 $\pi(2n)^2$ 。 $\pi(x)$ 是小于等于 $x$ 的质数个数，约等于 $x/\ln(x)$ 。对于题目数据范围（ $n$ 不会太大，参考代码中暗示了 $n \le 15000$ 左右），这个操作是可行的。
- Dinic算法: 在单位容量的二分图上，Dinic算法的理论复杂度是 $O(E\sqrt{V})$ ，其中 $V=2n$ 是点数， $E$ 是边数。虽然 $E$ 可能很大，但在实际问题中通常表现得更快。
空间复杂度: $O(n + E)$
- 主要空间开销是存储网络流图的邻接表。adj 数组的大小取决于点数 $V$ 和边数 $E$ 。 $E$ 的大小与 $\pi(2n)^2$ 相关。

知识点总结

这道题是数论和图论结合的绝佳范例，喵~ 解开它需要我们掌握以下几个关键知识点：

问题转化: 将代数约束（和与差为质数）转化为关于两个质数的方程，这是解题的突破口。
数论性质:
- 奇偶性分析: 这是本题最巧妙的剪枝，通过分析质数的奇偶性以及和的奇偶性，直接排除了所有奇数 $n$ 的情况。
- 质数筛: 高效地预处理出所需范围内的所有质数是必不可少的。
图论建模: 能够识别出问题本质是一个完美匹配问题，并将其转化为二分图匹配模型。
网络流: 掌握使用最大流算法（如Dinic）来求解二分图最大匹配的标准方法。这是解决这类问题的强力工具。

希望这篇题解能帮助你更好地理解这个问题，也让你感受到算法世界的乐趣！继续加油哦，master！喵~

排列 - 题解 ​

标签与难度 ​

题目大意喵~ ​

解题思路分析 ​

第一步：解开条件的数学小秘密 ​

第二步：奇偶性大发现！ ​

第三步：一个超级重要的剪枝！ ​

第四步：把问题变成图论模型 ​

第五步：用网络流求解！ ​

代码实现 ​

复杂度分析 ​

知识点总结 ​