GameSET - 题解

标签与难度

标签: 暴力枚举, 组合数学, 字符串处理, 模拟, 哈希表 难度: 1400

题目大意喵~

各位Master，大家好呀！今天我们来玩一个叫做 "SET" 的卡牌游戏，喵~！

这个游戏里有好多好多独特的卡片。每张卡片都有四个特征：

1. 数量: 一个、两个、或三个
2. 形状: 菱形 (diamond)、波浪形 (squiggle)、或椭圆形 (oval)
3. 着色: 实心 (solid)、条纹 (striped)、或空心 (open)
4. 颜色: 红色 (red)、绿色 (green)、或紫色 (purple)

我们的任务是从给定的 N 张牌中，找出三张牌，让它们组成一个 "SET"。

那么，什么样的三张牌才能算一个 "SET" 呢？规则是这样的：对于这三张牌的每一个特征（数量、形状、着色、颜色），这个特征的属性值必须是**“全都相同”或者“全不相同”**。

举个栗子：

• [三个][菱形][实心][红色]
• [两个][波浪][实心][绿色]
• [一个][椭圆][实心][紫色]

这三张牌就组成了一个 "SET" 呐！因为：

• 数量: 三个、两个、一个 (全不相同)
• 形状: 菱形、波浪、椭圆 (全不相同)
• 着色: 实心、实心、实心 (全都相同)
• 颜色: 红色、绿色、紫色 (全不相同)

每个特征都满足了条件，所以它们是一个完美的 "SET"！

更刺激的是，游戏里还有“万能牌”(Wild card)！它的某些特征可能是 *，表示这个特征可以变成你想要的任何一种属性值，是不是很棒？

我们的目标就是，从给定的 N 张牌里，找到任意一个 "SET" 并输出这三张牌的序号（从1开始）。如果找不到，就告诉人家 -1 啦~

解题思路分析

这道题的核心就是找到三张牌，让它们在四个维度上都满足 "全相同" 或 "全不同" 的规则，还要处理万能牌 * 的情况。最直接的想法，就是把所有可能的三张牌组合都试一遍，对吧？喵~

步骤一：把卡牌“数字化”，方便处理喵！

卡牌的特征都是用字符串表示的，比如 "one", "red" 等等。直接比较字符串有点慢，而且不方便我们进行数学上的判断。所以，第一步就是把这些描述性的词语转换成数字！

每个特征都有三种可能的属性值。一个很自然的想法就是把它们映射到数字 0, 1, 2。比如说，对于颜色特征：

• red -> 0
• green -> 1
• purple -> 2

我们可以为所有特征都建立这样的映射。那万能牌 * 怎么办呢？它可以变成任何值，是个特殊的存在。我们可以给它一个特殊的数字，比如 -1，来标记它。

我们可以用 std::map<string, int> 来轻松实现这个转换，把所有卡牌都变成一个 N x 4 的整数矩阵，这样后续处理就方便多啦！

步骤二：暴力出奇迹，枚举所有组合！

既然要找三张牌，那我们就干脆利落地把所有可能的三张牌组合都检查一遍。这可以用一个三层嵌套循环来实现：

for i from 0 to N-1
  for j from i+1 to N-1
    for k from j+1 to N-1
      // 检查第 i, j, k 张牌是否构成一个 SET

这样可以保证我们不会重复地检查同一组牌，也不会一张牌用两次。

步骤三：最关键的一步！如何判断一个 "SET"？

现在我们拿到了三张牌（已经数字化了），比如 card_i, card_j, card_k。我们需要写一个函数来判断它们是否是 "SET"。这个判断需要对四个特征分别进行。

让我们先只看一个特征，比如颜色，三张牌对应的颜色值分别是 c1, c2, c3。

处理万能牌 * (也就是我们的 -1)

如果 c1, c2, c3 中至少有一个是 -1，会发生什么呢？

• 一个万能牌：比如 {c1, c2, -1}。
  • 如果 c1 == c2，我们可以让万能牌也变成 c1，达成“全都相同”。
  • 如果 c1 != c2，（比如 c1=0, c2=1），我们可以让万能牌变成第三个值 2，达成“全不相同”。
  • 所以，只要有一个万能牌，这个特征就总能满足条件！
• 两个或三个万能牌：那就更灵活啦，肯定能满足条件。

结论一：对于任何一个特征，只要三张牌中至少有一张是万能牌，那么这个特征的条件就可以自动满足！

处理没有万能牌的情况

如果 c1, c2, c3 都是普通值（0, 1, 2），那么我们就得老老实实地检查了：

• 全都相同：c1 == c2 && c2 == c3
• 全不相同：c1 != c2 && c1 != c3 && c2 != c3

只要满足其中一个，这个特征就算通过了。

一个更优雅的数学小技巧，喵~

上面的判断虽然没错，但有点啰嗦。这里有个超级可爱的数学发现！ 如果我们把属性值设为 0, 1, 2，对于没有万能牌的三个值 v1, v2, v3，它们满足 "全相同" 或 "全不同" 的条件，当且仅当它们的和是 3 的倍数！

$$(v_1 + v_2 + v_3) \pmod 3 = 0$$

不信你试试看？

• 全相同:
  • 0 + 0 + 0 = 0 (是3的倍数)
  • 1 + 1 + 1 = 3 (是3的倍数)
  • 2 + 2 + 2 = 6 (是3的倍数)
• 全不同:
  • 0 + 1 + 2 = 3 (是3的倍数)
• 不满足条件的情况:
  • 0 + 0 + 1 = 1 (不是3的倍数)
  • 1 + 2 + 2 = 5 (不是3的倍数)

是不是超级神奇！这样我们的判断逻辑就变得非常简洁了。

结论二：对于任何一个特征，如果三张牌都没有万能牌，我们只需检查它们的数字表示之和是否能被 3 整除。

算法总结

好啦，现在我们可以整理出完整的解题步骤了：

1. 初始化：创建一个 map，将所有特征的字符串（包括 *）映射到整数。
2. 输入和转换：读取 N 张牌，利用 map 将它们转换成一个 N x 4 的二维整数数组 cards。
3. 枚举：使用三层循环遍历所有三张牌的组合 (i, j, k)。
4. 验证：对于每一组牌，写一个循环检查所有4个特征：
   • 对每个特征 f，获取三个值 v_i = cards[i][f], v_j = cards[j][f], v_k = cards[k][f]。
   • 如果三者中有任何一个是 -1 (万能牌)，此特征通过。
   • 否则，如果 (v_i + v_j + v_k) % 3 != 0，则此特征不通过，这组牌不是 "SET"，直接跳出内层循环，检查下一组牌。
5. 输出：如果4个特征全部通过检查，恭喜你找到了一个 "SET"！立即打印它们的 1-based 索引 i+1, j+1, k+1，然后就可以结束程序啦。
6. 未找到：如果所有组合都检查完了还没找到，就打印 -1。

这个 $O(N^3)$ 的算法对于本题的规模来说是完全足够通过的，而且思路清晰，实现起来也很有趣，对吧？

代码实现

这是我根据上面的思路，精心为大家准备的一份代码实现哦~ 注释超详细的！

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <map>

// 用一个结构体来表示卡牌，更清晰喵~
struct Card {
    // 四个特征，用整数表示
    int features[4]; 
};

// 全局的特征到整数的映射表
std::map<std::string, int> feature_to_int;

void initialize_feature_map() {
    // 万能牌是特殊的 -1
    feature_to_int["*"] = -1;
    
    // 特征1: 数量
    feature_to_int["one"] = 0;
    feature_to_int["two"] = 1;
    feature_to_int["three"] = 2;
    
    // 特征2: 形状
    feature_to_int["diamond"] = 0;
    feature_to_int["squiggle"] = 1;
    feature_to_int["oval"] = 2;
    
    // 特征3: 着色
    feature_to_int["solid"] = 0;
    feature_to_int["striped"] = 1;
    feature_to_int["open"] = 2;
    
    // 特征4: 颜色
    feature_to_int["red"] = 0;
    feature_to_int["green"] = 1;
    feature_to_int["purple"] = 2;
}

// 解析输入的字符串 "[f1][f2][f3][f4]"
Card parse_card(const std::string& s) {
    Card card;
    std::string temp;
    int feature_idx = 0;
    for (size_t i = 1; i < s.length(); ++i) {
        if (s[i] == '[') {
            // 遇到新的'['，说明上一个特征结束了
            card.features[feature_idx++] = feature_to_int[temp];
            temp.clear();
        } else if (s[i] != ']') {
            temp += s[i];
        }
    }
    // 处理最后一个特征
    card.features[feature_idx] = feature_to_int[temp];
    return card;
}

// 检查三张牌是否构成一个 SET
bool is_valid_set(const Card& c1, const Card& c2, const Card& c3) {
    for (int i = 0; i < 4; ++i) {
        int f1 = c1.features[i];
        int f2 = c2.features[i];
        int f3 = c3.features[i];
        
        // 如果有万能牌，这个特征自动满足条件
        if (f1 == -1 || f2 == -1 || f3 == -1) {
            continue;
        }
        
        // 如果没有万能牌，使用我们的模3小技巧！
        if ((f1 + f2 + f3) % 3 != 0) {
            return false; // 有一个特征不满足，就不是 SET
        }
    }
    return true; // 所有四个特征都满足，耶！
}

void solve(int case_num) {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<Card> cards(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        std::string s;
        std::cin >> s;
        cards[i] = parse_card(s);
    }
    
    bool found = false;
    std::cout << "Case #" << case_num << ": ";
    
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            for (int k = j + 1; k < n; ++k) {
                if (is_valid_set(cards[i], cards[j], cards[k])) {
                    std::cout << i + 1 << " " << j + 1 << " " << k + 1 << std::endl;
                    found = true;
                    goto end_loops; // 找到一组就跳出所有循环
                }
            }
        }
    }

end_loops:
    if (!found) {
        std::cout << -1 << std::endl;
    }
}

int main() {
    // 提高cin/cout效率
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);
    
    initialize_feature_map();
    
    int t;
    std::cin >> t;
    for (int i = 1; i <= t; ++i) {
        solve(i);
    }
    
    return 0;
}

复杂度分析

• 时间复杂度: $O(N^3)$ 我们的主要计算量来自三层嵌套循环，它会遍历所有可能的三张牌组合。组合的数量是 $C(N, 3) = \frac{N(N-1)(N-2)}{6}$，也就是 $O(N^3)$。在循环内部，对每组牌的检查是常数时间（只检查4个特征）。所以总的时间复杂度就是 $O(N^3)$ 啦。

• 空间复杂度: $O(N)$ 我们用一个 std::vector<Card> 来存储 N 张卡牌的信息，每张卡牌占用的空间是固定的。因此，占用的主要额外空间与卡牌数量 N 成正比，所以空间复杂度是 $O(N)$。那个 map 的大小是固定的，不随 N 变化，所以是 $O(1)$ 的空间。

知识点总结

这道题虽然看似复杂，但拆解开来就是一个很好的练习，喵~ 我们可以从中学习到：

1. 暴力枚举: 对于数据规模不大、且需要寻找满足特定条件组合的问题，暴力枚举所有可能性是一个简单有效的策略。
2. 数据预处理/转换: 将难以处理的数据（如字符串）转换为更易于计算的形式（如整数），是解决问题的常用技巧。这里我们用 std::map 建立了映射。
3. 模块化编程: 将不同的功能（如解析输入、验证逻辑）封装到独立的函数中，能让代码结构更清晰，也更容易调试。
4. 巧用数学性质: 发现并利用 "(v1+v2+v3) % 3 == 0" 这样的数学性质，可以极大地简化判断逻辑，让代码更优雅高效。
5. 处理特殊情况: 仔细分析万能牌 * 的作用，并为它设计合理的处理逻辑，是正确解题的关键。

希望这篇题解能帮助到你，Master！要继续加油学算法哦，喵~