魔法序列 - 题解

标签与难度

标签: 数学, 规律探索, 数列, 前缀和, O(1)算法难度: 1300

题目大意喵~

一位叫做伊娜的可爱女孩定义了一个神奇的“魔法序列” a，它的规则是这样的：

序列的第一项 $a_1$ 等于 $1$ 。
从第二项开始，每一项 $a_i$ 的值，等于它前一项 $a_{i-1}$ 在它自己（ $a_i$ ）之前出现过的总次数。

用数学语言来描述就是：

\begin{cases} a_1 = 1 \\ a_i = \sum_{j<i} [a_j = a_{i-1}] & \text{for } i > 1 \end{cases}

其中 [...] 是艾弗森括号，如果里面的条件成立，值为1，否则为0。

我们的任务是，给定一个正整数 $n$ ，计算这个魔法序列的前 $n$ 项之和，也就是 $\sum_{i=1}^n a_i$ 的说。

解题思路分析

喵哈~！这个序列的定义看起来像是在自己引用自己，有点绕呢。不过别担心，这种时候最好的办法就是伸出爪子，我们一起来算算序列的前几项，看看能不能发现什么小秘密，喵~

$a_1$ : 题目直接告诉我们了，就是 $1$ 。序列: 1
$a_2$ : 它的值是 $a_{2-1} = a_1 = 1$ 在它之前（也就是在第1项）出现的次数。数字 1 只出现过一次，所以 $a_2 = 1$ 。序列: 1, 1
$a_3$ : 它的值是 $a_{3-1} = a_2 = 1$ 在它之前（第1、2项）出现的次数。数字 1 出现过两次，所以 $a_3 = 2$ 。序列: 1, 1, 2
$a_4$ : 它的值是 $a_{4-1} = a_3 = 2$ 在它之前（第1、2、3项）出现的次数。数字 2 只出现过一次，所以 $a_4 = 1$ 。序列: 1, 1, 2, 1
$a_5$ : 它的值是 $a_{5-1} = a_4 = 1$ 在它之前（前4项）出现的次数。数字 1 出现过三次（在第1, 2, 4项），所以 $a_5 = 3$ 。序列: 1, 1, 2, 1, 3
$a_6$ : 它的值是 $a_{6-1} = a_5 = 3$ 在它之前（前5项）出现的次数。数字 3 只出现过一次，所以 $a_6 = 1$ 。序列: 1, 1, 2, 1, 3, 1

再多写几项：1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, ...

哇！一个非常有趣的规律出现了，不是吗？

所有偶数位置上的数（ $a_2, a_4, a_6, ...$ ）好像全都是 1 呐！
所有奇数位置上的数（ $a_1, a_3, a_5, ...$ ）则构成了 1, 2, 3, 4, ... 这样的自然数序列！

我们可以大胆地做出猜想：

当 $i$ 是偶数时， $a_i = 1$ 。
当 $i$ 是奇数时， $a_i = \frac{i+1}{2}$ 。

这个猜想对不对呢？我们可以用数学归纳法来证明，这里本喵就简单地解释一下为什么这个规律是成立的：

如果 i 是奇数（比如 $i=5$ ）：那么 $i-1$ 就是偶数。根据我们的猜想， $a_{i-1}$ 应该是 $1$ 。所以 $a_i$ 就是要计算 $1$ 在前 $i-1$ 项中出现的次数。 $1$ 会出现在第1项和所有偶数项。在 $i-1$ 的范围内，有 $1$ 个奇数项（就是第1项）和 $\frac{i-1}{2}$ 个偶数项的值是 $1$ 。加起来就是 $1 + \frac{i-1}{2} = \frac{i+1}{2}$ 。猜想成立！
如果 i 是偶数（比如 $i=6$ ）：那么 $i-1$ 就是奇数。根据我们的猜想， $a_{i-1}$ 应该是 $\frac{(i-1)+1}{2} = \frac{i}{2}$ 。我们要计算 $\frac{i}{2}$ 在前 $i-1$ 项中出现的次数。根据猜想，只有奇数位置的项才可能大于1，偶数位置的项都是1。所以我们只要在奇数位置找。一个奇数位置 $j$ 的值是 $\frac{j+1}{2}$ 。要让它等于 $\frac{i}{2}$ ，就需要 $j+1=i$ ，也就是 $j=i-1$ 。这意味着，值 $\frac{i}{2}$ 在前 $i-1$ 项里只在第 $i-1$ 项出现过唯一一次。所以 $a_i = 1$ 。猜想也成立！

既然规律找到了，那问题就变得超级简单啦！我们要求前 $n$ 项和，只需要把奇数项的和跟偶数项的和加起来就可以啦。

1. 偶数项的和: 在 $1$ 到 $n$ 之间，一共有 $\lfloor n/2 \rfloor$ 个偶数。每一项的值都是 $1$ ，所以偶数项的总和就是 $\lfloor n/2 \rfloor$ 。

2. 奇数项的和: 在 $1$ 到 $n$ 之间，一共有 $\lceil n/2 \rceil$ 个奇数。我们把这些奇数项单独拿出来，它们是 $a_1, a_3, a_5, \dots$ 。它们的值分别是 $1, 2, 3, \dots$ 。所以，奇数项的和就是一个从 $1$ 开始的等差数列的和。如果一共有 $m = \lceil n/2 \rceil$ 个奇数项，它们的和就是 $\sum_{j=1}^{m} j = \frac{m(m+1)}{2}$ 。

最终公式: 把两部分加起来，总和就是：

S_n = \lfloor n/2 \rfloor + \frac{\lceil n/2 \rceil \cdot (\lceil n/2 \rceil + 1)}{2}

在 C++ 里做整数运算时：

$\lfloor n/2 \rfloor$ 就是 n / 2。
$\lceil n/2 \rceil$ 就是 (n + 1) / 2。

因为 $n$ 最大可以到 $10^{18}$ ，所以计算过程中可能会超过普通 int 的范围，我们需要用 long long 来存储 $n$ 和计算结果哦~

代码实现

下面是本喵根据上面的思路，精心为你准备的代码，喵~

cpp

#include <iostream>

int main() {
    // 为了防止终端输入输出过慢，可以加上这两句喵~
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    // 题目中的 n 很大，所以要用 long long 来存储，不然会溢出的说
    long long n;
    std::cin >> n;

    // 计算 1 到 n 中有多少个偶数项
    // 在整数除法里，n / 2 就等于 floor(n / 2)
    long long num_even_terms = n / 2;

    // 计算 1 到 n 中有多少个奇数项
    // 对于正整数 n，(n + 1) / 2 就等于 ceil(n / 2)
    long long num_odd_terms = (n + 1) / 2;

    // 偶数项的值都是 1，所以它们的和就是偶数项的个数
    long long sum_even = num_even_terms;

    // 奇数项的值构成了 1, 2, 3, ..., num_odd_terms 的序列
    // 它们的和是等差数列求和公式：m * (m + 1) / 2
    long long sum_odd = num_odd_terms * (num_odd_terms + 1) / 2;
    
    // 总和就是两部分之和
    long long total_sum = sum_odd + sum_even;

    std::cout << total_sum << std::endl;

    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度: $O(1)$ 我们的代码只是根据输入的 $n$ 做了一些固定的算术运算，没有循环或者递归，所以计算时间是常数级别的，超级快！
空间复杂度: $O(1)$ 我们只用了几个变量（n, num_even_terms, num_odd_terms 等）来存储中间值，需要的额外空间不随 $n$ 的大小变化，所以是常数空间复杂度，喵~

知识点总结

这道题虽然披着“魔法”的外衣，但核心是考察我们发现规律和数学计算的能力，呐。

规律探索: 解决序列问题的第一步往往是手算出前几项，观察并大胆猜想规律。这是算法竞赛中非常重要的直觉和能力。
数学归纳法: 这是严谨证明我们猜想的有力工具，能确保我们的规律在所有情况下都成立。
分治思想 (按奇偶性划分): 将一个复杂的问题（求总和）分解成几个更简单的子问题（求奇数项和与偶数项和）是常用的解题策略。
等差数列求和: $\sum_{i=1}^m i = \frac{m(m+1)}{2}$ 是一个必须牢记于心的基础数学公式。
数据类型选择: 注意题目给定的数据范围！看到 $10^{18}$ 就要立刻想到 long long，这是避免“大数溢出”问题的关键哦。

希望这篇题解能帮到你，加油，你一定可以的，喵~！

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