S 老师的求和 - 题解

标签与难度

标签: 数学, 组合数学, 数论, 模运算, 费马小定理, 逆元, 快速幂难度: 1500

题目大意喵~

各位算法大师们好呀！今天我要和大家一起解决一道有趣的数学题，是关于求和的求和的求和... 喵哈哈，听起来是不是有点绕？

简单来说，S老师给了我们三个整数 $a, b, x$ ，然后定义了一系列函数：

$L_1(k) = ak+b$
$L_2(k) = \sum_{i=1}^{k} L_1(i)$
$L_3(k) = \sum_{i=1}^{k} L_2(i)$
$L_4(k) = \sum_{i=1}^{k} L_3(i)$

我们的任务就是计算出 $L_1(x), L_2(x), L_3(x)$ 和 $L_4(x)$ 的值。因为答案可能会非常大，所以我们需要将结果对 $998244353$ 取模。

解题思路分析

这道题的核心就是一层层地解开求和符号 $\Sigma$ 的神秘面纱，喵~ 如果直接暴力循环去算，当 $x$ 很大的时候，肯定会超时。所以，我们需要找到这些求和的通项公式！这就要用到我们学过的数学知识啦，尤其是关于自然数幂和以及组合数的知识，呐。

第一步： $L_1(x)$ 的计算

这个最简单啦，就像是新手村的小怪兽！直接把 $x$ 代入定义就好：

L_1(x) = ax + b

在程序里，我们计算 $(a \pmod M \cdot x \pmod M + b \pmod M) \pmod M$ 就行啦，这里的 $M$ 是 $998244353$ 。

第二步： $L_2(x)$ 的计算

接下来是 $L_2(x)$ ，它对 $L_1(i)$ 求和：

L_2(x) = \sum_{i=1}^{x} L_1(i) = \sum_{i=1}^{x} (ai + b)

利用求和的线性性质，我们可以把它拆开：

L_2(x) = a \sum_{i=1}^{x} i + b \sum_{i=1}^{x} 1

这两个求和都是我们非常熟悉的公式，对吧？

自然数求和公式: $\sum_{i=1}^{x} i = \frac{x(x+1)}{2}$
常数求和: $\sum_{i=1}^{x} 1 = x$

所以，我们得到：

L_2(x) = a \cdot \frac{x(x+1)}{2} + b \cdot x

在模运算中，除以一个数等于乘以它的模逆元。因为 $998244353$ 是一个质数，我们可以用费马小定理来求模逆元，比如 $2$ 的逆元就是 $2^{M-2} \pmod M$ 。

第三步： $L_3(x)$ 的计算 (优雅的组合数学魔法！)

现在挑战升级了，轮到 $L_3(x)$ ！

L_3(x) = \sum_{i=1}^{x} L_2(i) = \sum_{i=1}^{x} \left( a \cdot \frac{i(i+1)}{2} + b \cdot i \right)

再次拆开求和：

L_3(x) = a \sum_{i=1}^{x} \frac{i(i+1)}{2} + b \sum_{i=1}^{x} i

后面的 $b \sum i$ 我们已经很熟了。关键是前面那个 $\sum \frac{i(i+1)}{2}$ 。直接用平方和、立方和公式展开会很麻烦，这里我要教大家一个超级优雅的魔法——组合数！大家看， $\frac{i(i+1)}{2}$ 是不是很像组合数 $\binom{i+1}{2}$ ？没错，它就是！所以 $L_2(i)$ 可以写作： $L_2(i) = a \binom{i+1}{2} + b \binom{i}{1}$ 。

现在我们要求和，就要用到组合数学里一个非常漂亮的**“曲棍球棒恒等式”** (Hockey-stick identity): $\sum_{i=r}^{n} \binom{i}{r} = \binom{n+1}{r+1}$ 。用这个恒等式来处理我们的求和：

$\sum_{i=1}^{x} \binom{i+1}{2} = \sum_{j=2}^{x+1} \binom{j}{2} = \binom{x+2}{3} = \frac{(x+2)(x+1)x}{6}$
$\sum_{i=1}^{x} \binom{i}{1} = \binom{x+1}{2} = \frac{x(x+1)}{2}$

把它们代回去，就得到了 $L_3(x)$ 的公式，是不是像变魔术一样，喵~？

L_3(x) = a \cdot \frac{x(x+1)(x+2)}{6} + b \cdot \frac{x(x+1)}{2}

第四步： $L_4(x)$ 的计算 (再来一次！)

有了前面的经验， $L_4(x)$ 也不在话下啦！

L_4(x) = \sum_{i=1}^{x} L_3(i) = \sum_{i=1}^{x} \left( a \cdot \frac{i(i+1)(i+2)}{6} + b \cdot \frac{i(i+1)}{2} \right)

我们把 $L_3(i)$ 也写成组合数的形式： $L_3(i) = a \binom{i+2}{3} + b \binom{i+1}{2}$ 。然后对它求和，再次使用曲棍球棒恒等式：

$\sum_{i=1}^{x} \binom{i+2}{3} = \sum_{j=3}^{x+2} \binom{j}{3} = \binom{x+3}{4} = \frac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{24}$
$\sum_{i=1}^{x} \binom{i+1}{2} = \binom{x+2}{3} = \frac{x(x+1)(x+2)}{6}$

最终，我们得到了 $L_4(x)$ 的公式：

L_4(x) = a \cdot \frac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{24} + b \cdot \frac{x(x+1)(x+2)}{6}

总结一下公式们：

$L_1(x) = ax + b$
$L_2(x) = a \frac{x(x+1)}{2} + bx$
$L_3(x) = a \frac{x(x+1)(x+2)}{6} + b \frac{x(x+1)}{2}$
$L_4(x) = a \frac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{24} + b \frac{x(x+1)(x+2)}{6}$

接下来，我们只需要写代码实现这些公式，记得处理好模运算和模逆元就可以啦！我们需要 $2, 6, 24$ 的逆元。

代码实现

下面是我根据上面的思路，从零开始写的 C++ 代码哦，希望能帮助到你，喵~

cpp

#include <iostream>

// 使用 long long 防止中间计算溢出
using ll = long long;

// 题目给定的模数
const ll MOD = 998244353;

// 快速幂函数，用于计算 (base^exp) % MOD
// 这是计算模逆元的基础哦，喵~
ll power(ll base, ll exp) {
    ll res = 1;
    base %= MOD;
    while (exp > 0) {
        if (exp % 2 == 1) res = (res * base) % MOD;
        base = (base * base) % MOD;
        exp /= 2;
    }
    return res;
}

// 模逆元函数，使用费马小定理 a^(p-2) mod p
ll modInverse(ll n) {
    return power(n, MOD - 2);
}

void solve() {
    ll a, b, x;
    std::cin >> a >> b >> x;

    // 将输入都对 MOD 取模，养成好习惯，呐
    ll a_mod = a % MOD;
    ll b_mod = b % MOD;
    ll x_mod = x % MOD;

    // 预先计算好需要的模逆元
    // inv2 是 1/2 的模逆元
    // inv6 是 1/6 的模逆元
    // inv24 是 1/24 的模逆元
    static const ll inv2 = modInverse(2);
    static const ll inv6 = modInverse(6);
    static const ll inv24 = modInverse(24);

    // --- L1(x) 的计算 ---
    // L1(x) = a*x + b
    ll L1 = (a_mod * x_mod + b_mod) % MOD;

    // --- L2(x) 的计算 ---
    // L2(x) = a * x(x+1)/2 + b*x
    ll term_a_2 = (a_mod * x_mod) % MOD;
    term_a_2 = (term_a_2 * (x_mod + 1)) % MOD;
    term_a_2 = (term_a_2 * inv2) % MOD;
    ll term_b_2 = (b_mod * x_mod) % MOD;
    ll L2 = (term_a_2 + term_b_2) % MOD;

    // --- L3(x) 的计算 ---
    // L3(x) = a * x(x+1)(x+2)/6 + b * x(x+1)/2
    ll term_a_3 = (a_mod * x_mod) % MOD;
    term_a_3 = (term_a_3 * (x_mod + 1)) % MOD;
    term_a_3 = (term_a_3 * (x_mod + 2)) % MOD;
    term_a_3 = (term_a_3 * inv6) % MOD;
    ll term_b_3 = (b_mod * x_mod) % MOD;
    term_b_3 = (term_b_3 * (x_mod + 1)) % MOD;
    term_b_3 = (term_b_3 * inv2) % MOD;
    ll L3 = (term_a_3 + term_b_3) % MOD;

    // --- L4(x) 的计算 ---
    // L4(x) = a * x(x+1)(x+2)(x+3)/24 + b * x(x+1)(x+2)/6
    ll term_a_4 = (a_mod * x_mod) % MOD;
    term_a_4 = (term_a_4 * (x_mod + 1)) % MOD;
    term_a_4 = (term_a_4 * (x_mod + 2)) % MOD;
    term_a_4 = (term_a_4 * (x_mod + 3)) % MOD;
    term_a_4 = (term_a_4 * inv24) % MOD;
    ll term_b_4 = (b_mod * x_mod) % MOD;
    term_b_4 = (term_b_4 * (x_mod + 1)) % MOD;
    term_b_4 = (term_b_4 * (x_mod + 2)) % MOD;
    term_b_4 = (term_b_4 * inv6) % MOD;
    ll L4 = (term_a_4 + term_b_4) % MOD;
    
    // C++中取模可能得到负数，保险起见处理一下
    auto adjust = [](ll val) { return (val % MOD + MOD) % MOD; };

    std::cout << adjust(L1) << " " << adjust(L2) << " " << adjust(L3) << " " << adjust(L4) << std::endl;
}

int main() {
    // 提高cin/cout效率
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    int T;
    std::cin >> T;
    while (T--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度: $O(T \cdot \log M)$ 。在主函数外面预计算逆元的话，每个测试用例是 $O(1)$ ，总时间是 $O(\log M + T)$ 。如果像我的代码一样，在solve函数中用static变量，逆元也只会被计算一次。对于每个测试用例，我们只执行了常数次算术运算。所以，处理 $T$ 个测试用例的总时间复杂度是 $O(T)$ （忽略首次计算逆元的开销）。
空间复杂度: $O(1)$ 。我们只用了几个变量来存储输入、中间结果和最终答案，没有使用与输入规模 $x$ 相关的额外空间，非常节省内存呢，喵~

知识点总结

自然数幂和公式: 这是解决这类求和问题的基础。虽然我们用组合数绕了个弯，但本质是相通的。
组合数学与裂项求和: 本题最亮眼的部分！利用 $\binom{n}{k}$ 的形式和曲棍球棒恒等式 $\sum_{i=r}^{n} \binom{i}{r} = \binom{n+1}{r+1}$ ，可以极大地简化高阶求和的推导过程。这是个非常强大的技巧，要记住哦！
模运算: 在算法竞赛中，处理大数问题时，模运算是家常便饭。要牢记其基本性质，如 (A * B) % M = ((A % M) * (B % M)) % M。
模逆元与费马小定理: 在模算术中没有除法，取而代之的是乘以模逆元。当模数 $M$ 是质数时，求一个数 $a$ 的逆元最常用的方法就是利用费马小定理，即 $a^{M-2} \pmod M$ 。
快速幂: 这是计算模逆元（以及其他大数幂）的标准算法，可以在 $O(\log N)$ 的时间内计算出 $a^N \pmod M$ ，是必须掌握的核心技能之一！

希望这篇题解能帮到大家！如果还有不明白的地方，随时可以来问我哦~ 喵~

S 老师的求和 - 题解 ​

标签与难度 ​

题目大意喵~ ​

解题思路分析 ​

第一步：L1(x)L_1(x)L1​(x) 的计算 ​

第二步：L2(x)L_2(x)L2​(x) 的计算 ​

第三步：L3(x)L_3(x)L3​(x) 的计算 (优雅的组合数学魔法！) ​

第四步：L4(x)L_4(x)L4​(x) 的计算 (再来一次！) ​

总结一下公式们： ​

代码实现 ​

复杂度分析 ​

知识点总结 ​