233的数列 - 题解

标签与难度

标签: 数论, 模拟, 循环节, 哈希, 鸽巢原理, 递推难度: 1700

题目大意喵~

主人，你好呀！这道题是关于三个神奇的数列 $A, B, C$ 的故事哦，喵~

题目会给我们三个数列的初始值 $A_1, B_1, C_1$ 和一些系数 $a, b, c, d, e, f$ 。这三个数列是相互依赖着生成的，它们满足下面的递推关系：

$A_n = a \cdot A_{n-1} + b \cdot B_{n-1}$
$B_n = c \cdot A_{n-1} + d \cdot C_{n-1}$
$C_n = e \cdot A_{n-1} + f \cdot B_{n-1}$

我们的任务就是，计算出这三个数列对应项乘积的总和，也就是求下面这个式子的值，并且结果要对一个给定的数 $p$ 取模，呐。

\left( \sum_{i=1}^{n} A_i \cdot B_i \cdot C_i \right) \pmod p

这里的 $n$ 可能会非常大哦！

解题思路分析

嘿嘿，看到这道题，最直接的想法就是写一个循环，从第 $1$ 项一直算到第 $n$ 项，把每一项的 $A_i \cdot B_i \cdot C_i$ 都加起来，对吧喵？

cpp

// 暴力模拟的伪代码喵~
long long total_sum = 0;
// A, B, C 初始化为 A1, B1, C1
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    total_sum = (total_sum + (long long)A * B * C) % p;
    // 根据递推公式计算下一项的 A, B, C
    int next_A = (a * A + b * B) % p;
    int next_B = (c * A + d * C) % p;
    int next_C = (e * A + f * B) % p;
    A = next_A;
    B = next_B;
    C = next_C;
}
// 输出 total_sum

但是，题目里 $n$ 的值可能会非常非常大（比如 $10^9$ 或者更大），如果真的循环 $n$ 次，我的小爪子都要磨平了，程序也会超时跑不完的，呜~

所以，我们必须找到一个更聪明的办法！这时候就要动动我们猫咪的小脑袋瓜啦，喵~

关键的突破口在于 “所有的计算都要对 $p$ 取模”。这意味着，在任何一步计算中， $A_i, B_i, C_i$ 的值都只会在 $0$ 到 $p-1$ 这个范围内。

那么，由 $(A_i, B_i, C_i)$ 这三个数构成的状态“三元组”，一共有多少种不同的可能性呢？很简单嘛，就是 $p \times p \times p = p^3$ 种！

因为状态的总数是有限的（题目中 $p$ 不会很大，一般在100左右），根据著名的 鸽巢原理，当我们生成的项数足够多时（最多 $p^3 + 1$ 项），必然会有一个状态三元组 $(A_i, B_i, C_i)$ 是我们之前见过的！就像我藏起来的鱼干，只要妈妈找的次数够多，总会被发现的，喵~

一旦某个状态，比如说第 $i$ 项的状态 $(A_i, B_i, C_i)$ 和之前的第 $j$ 项的状态 $(A_j, B_j, C_j)$ 完全相同，那么从第 $i+1$ 项开始，整个序列就会完完全全地重复第 $j+1$ 项开始的模式。这就形成了一个 循环节！

整个序列的形态就像这样： [尾巴部分] -> [循环节开始] -> ... -> [循环节结束] -> [再次进入循环] -> ... $S_1, S_2, \dots, S_{j-1}, \underbrace{S_j, S_{j+1}, \dots, S_{i-1}}_{\text{长度为 L 的循环节}}, S_i (=S_j), \dots$

找到了这个规律，问题就迎刃而解啦！我们的算法步骤如下：

模拟与寻找循环：我们一边按照递推公式计算序列的每一项，一边记录下每个状态 $(A, B, C)$ 第一次出现的步数和当时的累加和。我们可以用一个三维数组 first_occurrence_step[p][p][p] 来记录步数，另一个三维数组 sum_at_occurrence[p][p][p] 记录累加和。
发现循环：当计算到第 i 步，得到状态 (curr_A, curr_B, curr_C) 时，如果发现这个状态在 first_occurrence_step 里已经有记录了（比如说在第 j 步），bingo！我们找到了循环！
- 循环节的起始步数是 j。
- 循环节的结束步数是 i-1。
- 循环节的长度是 cycle_len = i - j。
分段计算总和：
- 尾巴部分：从第 1 步到第 j-1 步，这部分的和我们已经在寻找循环的过程中算出来了，就是 sum_at_occurrence[curr_A][curr_B][curr_C]。
- 循环部分：
  - 首先，计算一个完整循环节内所有项的乘积之和 cycle_sum。这等于（到第i-1步的总和）减去（到第j-1步的总和）。
  - 然后，看从第 j 步到第 n 步，还剩下 n - (j - 1) 项，这些项里可以容纳多少个完整的循环节。num_cycles = (n - (j - 1)) / cycle_len。
  - 这部分贡献的总和就是 num_cycles * cycle_sum。
- 剩余部分：可能还有一些凑不成一个完整循环的零头。remaining_steps = (n - (j - 1)) % cycle_len。这部分的和，我们可以通过模拟循环节的前 remaining_steps 项来得到。
合并结果：把这三部分的和加起来，再取模，就是最终的答案啦！如果 $n$ 很小，在找到循环节之前就计算完了，那直接输出当时的累加和就好。

通过这种方式，我们把一个可能需要 $O(n)$ 的计算，巧妙地转化为了一个 $O(p^3)$ 的计算，完美解决了 $n$ 太大的问题，喵~

代码实现

这是我根据上面的思路，精心重构的一份代码哦！注释超详细的，希望能帮到你，喵~

cpp

#include <iostream>
#include <vector>

// 使用 long long 防止 n 和中间计算溢出
using ll = long long;

// 用来记录状态信息的结构体，喵~
struct StateRecord {
    ll step = 0;       // 首次出现的步数
    ll sum_val = 0;    // 到达该状态前的累加和
};

int main() {
    // 加速输入输出，让程序跑得像猫一样快！
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    ll n;
    std::cin >> n;

    ll A1, B1, C1, a, b, c, d, e, f, p;
    std::cin >> A1 >> B1 >> C1 >> a >> b >> c >> d >> e >> f >> p;

    // 如果 p=0, 可能会有除零错误，虽然题目数据里 p>=1，但这是个好习惯~
    if (p == 0) {
        std::cout << 0 << std::endl;
        return 0;
    }
    // p=1 时，所有数模 p 都是 0
    if (p == 1) {
        std::cout << 0 << std::endl;
        return 0;
    }

    // visited[x][y][z] 记录 (A=x, B=y, C=z) 这个状态的信息
    std::vector<std::vector<std::vector<StateRecord>>> visited(
        p, std::vector<std::vector<StateRecord>>(
            p, std::vector<StateRecord>(p)));

    ll current_A = A1 % p;
    ll current_B = B1 % p;
    ll current_C = C1 % p;

    ll total_sum = 0;

    for (ll i = 1; i <= n; ++i) {
        // 检查当前状态是否已经出现过
        if (visited[current_A][current_B][current_C].step != 0) {
            // 找到了循环节！喵~
            ll start_of_cycle_step = visited[current_A][current_B][current_C].step;
            ll sum_before_cycle = visited[current_A][current_B][current_C].sum_val;
            
            ll cycle_len = i - start_of_cycle_step;
            // 当前总和 - 进入循环前的总和 = 第一个循环节的和
            ll cycle_sum = (total_sum - sum_before_cycle + p) % p;

            // 剩下还需要计算的项数
            ll remaining_steps = n - i + 1;
            ll num_full_cycles = remaining_steps / cycle_len;

            // 加上所有完整循环节的贡献
            total_sum = (total_sum + (num_full_cycles % p) * cycle_sum) % p;

            // 处理最后一个不完整的循环
            ll leftover_steps = remaining_steps % cycle_len;
            for (ll k = 0; k < leftover_steps; ++k) {
                total_sum = (total_sum + current_A * current_B % p * current_C) % p;
                ll next_A = (a * current_A + b * current_B) % p;
                ll next_B = (c * current_A + d * current_C) % p;
                ll next_C = (e * current_A + f * current_B) % p;
                current_A = next_A;
                current_B = next_B;
                current_C = next_C;
            }

            // 所有计算完成，可以提前结束了！
            std::cout << total_sum << std::endl;
            return 0;
        }

        // 如果是第一次遇到这个状态，就记录下来
        visited[current_A][current_B][current_C] = {i, total_sum};

        // 累加当前项的乘积
        total_sum = (total_sum + current_A * current_B % p * current_C) % p;
        
        // 计算下一项
        ll next_A = (a * current_A + b * current_B) % p;
        ll next_B = (c * current_A + d * current_C) % p;
        ll next_C = (e * current_A + f * current_B) % p;

        current_A = next_A;
        current_B = next_B;
        current_C = next_C;
    }

    // 如果 n 比较小，循环正常结束还没找到循环节，直接输出结果
    std::cout << total_sum << std::endl;

    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度: $O(p^3)$ 因为状态三元组 $(A_i, B_i, C_i)$ 的总数最多为 $p^3$ 种。根据鸽巢原理，我们的循环最多执行 $p^3 + 1$ 次就必定会找到一个重复的状态，从而发现循环节。找到循环节后的计算是 $O(p)$ 的（处理剩余部分），所以总的时间复杂度由寻找循环节的过程决定，即 $O(p^3)$ 。这对于一个很大的 $n$ 来说，是非常高效的，喵！
空间复杂度: $O(p^3)$ 我们主要的空间开销是用于记录状态的 visited 数组。它是一个三维数组，大小为 $p \times p \times p$ ，所以空间复杂度是 $O(p^3)$ 。这是典型的用空间换时间的策略呢。

知识点总结

这道题真有趣，让我们学会了好多东西，喵~

循环节检测 (Cycle Detection)：这是解决这类问题的核心思想。当一个系统状态有限时，一个确定性的递推过程必然会产生循环。识别并利用这个循环是优化的关键。
鸽巢原理 (Pigeonhole Principle)：为循环节的存在性提供了理论保证。只要我们的项数多于状态数，就一定会出现重复。
哈希/状态压缩：我们用一个三元组 $(A, B, C)$ 来代表系统的状态，并用一个三维数组来存储和查询这些状态，这本质上是一种哈希思想，将复杂的状态映射到数组下标。
模运算 (Modular Arithmetic)：题目中的所有计算都在模 $p$ 的意义下进行，这是状态空间有限的根本原因。
分段计算：将整个序列分为“尾巴”、“若干完整循环”、“循环零头”三部分，分别计算贡献再相加，是处理循环节问题的经典模式。

希望我的讲解对你有帮助哦！要继续加油，享受算法的乐趣，喵~

233的数列 - 题解 ​

标签与难度 ​

题目大意喵~ ​

解题思路分析 ​

代码实现 ​

复杂度分析 ​