AfricanSort - 题解

标签与难度

标签: 动态规划, 概率与期望, 数学, 置换群, 组合数学, 逆元难度: 2200

题目大意喵~

主人你好呀，喵~ 这道题是说，我们有一个长度为 $n$ 的数字排列（也就是 $1$ 到 $n$ 不重复地出现一次）。我们的目标是把它变成 1, 2, 3, ..., n 这样的有序状态，喵。

为了实现这个目标，我们可以使用一种很看运气的“非洲式排序法”：

选择任意一些位置，构成一个集合 $S$ 。
花费 $|S|$ （也就是集合大小）的代价。
把这些位置上的数字进行一次完全随机的洗牌（均匀打乱）。

我们需要为每一个给定的排列，找出一种最优的策略，使得排序成功的期望总花费最小。最后的结果要对 $998244353$ 取模哦，呐。

简单来说，就是：怎么花最少的钱（期望上），把乱七八糟的数字排列整整齐齐呢？

解题思路分析

这道题看起来有点吓人，又是期望又是最优决策的，但别怕，让我带你一步步解开它的神秘面纱，喵~

第一步：看透排列的本质——环！

一个排列，最自然的分解方式就是把它看成若干个互不相交的置换环。

什么意思呢？举个栗子！如果排列 p 是 [2, 5, 1, 3, 4]，我们可以画一个图：

从位置 1 出发，p[1]=2，所以我们画一条 1 -> 2 的边。
从位置 2 出发，p[2]=5，所以 2 -> 5。
从位置 5 出发，p[5]=4，所以 5 -> 4。
从位置 4 出发，p[4]=3，所以 4 -> 3。
从位置 3 出发，p[3]=1，所以 3 -> 1。哎呀，回到起点了！这就形成了一个环：1 -> 2 -> 5 -> 4 -> 3 -> 1。

一个数字 i 如果在它应该在的位置上（即 p[i] = i），那它自己就构成一个长度为 1 的小环。我们的最终目标，就是把所有数字都变成长度为 1 的环！

第二步：化整为零，各个击破！

我们发现，这些置换环是互相独立的。对一个环里的元素进行操作，并不会影响到另一个环里的元素（只要我们选择的下标 $S$ 都来自同一个环）。如果选择的下标来自不同的环，反而可能会把它们合并成一个更大的环，这离我们的目标（全部分解成长度为1的环）就更远了，喵！

所以，一个聪明的策略是：一次只对一个环进行操作。

这样问题就简化了！总的期望花费，就等于把每个环单独排序的期望花费之和。

E_{total} = \sum_{\text{环 } C} E(\text{排序环 } C)

现在，我们的核心问题就变成了：对于一个长度为 $k$ 的环，把它完全排好序（分解成 $k$ 个长度为 1 的环）的最小期望花费是多少呢？我们把这个值记为 $E_k$ 。

第三步：建立期望 DP 方程

我们来考虑一个长度为 $k$ 的环 ( $k > 1$ )。为了打破这个环，我们至少要对它进行一次操作。

选择什么样的集合 $S$ 是最优的呢？一个非常直观且强大的猜想是：选择这个环中的全部 $k$ 个元素进行洗牌。

为什么呢？因为这样可以用 $k$ 的代价，最大程度地“扰乱”这个环的结构，让它最有希望能分解成更多、更小的环。如果只选一部分，比如 $s < k$ 个元素，我们花了 $s$ 的代价，但还有 $k-s$ 个元素的位置关系被固定了，感觉有点亏呀，喵~

我们就顺着这个“最优策略是操作整个环”的思路走下去！

花费：我们选择环上全部 $k$ 个元素，花费为 $k$ 。
结果：这 $k$ 个元素被随机打乱，形成了一个新的、长度为 $k$ 的随机排列。
未来期望：这个新的随机排列也由若干个环组成。我们需要继续排序这些新环，直到全部搞定。这部分的期望花费就是 $E(\text{排序一个随机k-排列})$ 。

于是，我们得到了 $E_k$ 的递推关系：

E_k = k + E(\text{排序一个随机k-排列的期望花费})

根据我们之前的“化整为零”策略，排序一个排列的期望花费是其所有环的期望花费之和。利用期望的线性性，我们可以把求和和期望交换一下：

E(\text{排序一个随机k-排列}) = E\left[\sum_{\text{新环 } C'} E_{|C'|}\right] = \sum_{j=1}^{k} E_j \times (\text{一个随机k-排列中，长度为j的环的期望数量})

这里需要一个组合数学里的小知识点：在一个 $k$ 个元素的随机排列中，长度为 $j$ 的环的期望数量是 $1/j$ 。是不是很神奇，喵~

所以，我们的递推式就变成了：

E_k = k + \sum_{j=1}^{k} \frac{1}{j} E_j

这个式子里，左右两边都有 $E_k$ ，我们需要把它解出来：

E_k - \frac{1}{k} E_k = k + \sum_{j=1}^{k-1} \frac{1}{j} E_j

E_k \left(1 - \frac{1}{k}\right) = k + \sum_{j=1}^{k-1} \frac{1}{j} E_j

E_k \left(\frac{k-1}{k}\right) = k + \sum_{j=1}^{k-1} \frac{1}{j} E_j

E_k = \frac{k}{k-1} \left( k + \sum_{j=1}^{k-1} \frac{1}{j} E_j \right) \quad (\text{对于 } k \ge 2)

边界条件是 $E_1 = 0$ ，因为长度为 1 的环已经排好了。

太棒啦！我们得到了一个可以计算的递推式！我们可以预处理出所有 $E_k$ 的值（从 $k=2$ 到 $n$ ）。为了方便计算，我们可以维护一个前缀和 sum_val $= \sum_{j=1}^{i-1} \frac{E_j}{j}$ 。当计算 $E_i$ 时，直接用 sum_val，算出 $E_i$ 后，再把 $E_i/i$ 加到 sum_val 中，为下一次计算做准备。

最终算法流程

预处理：利用上面的递推式，计算出 $E_2, E_3, \dots, E_n$ 的值，并存起来。别忘了处理取模和求逆元哦。
处理查询：对于给定的 $m$ 个排列中的每一个： a. 初始化总花费 total_cost = 0，并用一个 visited 数组来标记访问过的位置。 b. 遍历 i 从 1 到 $n$ 。 c. 如果 i 还没被访问过，说明我们发现了一个新的环。从 i 开始沿着 p[i], p[p[i]], ... 走，直到回到 i，同时计数环的长度 len，并把路径上的点都标记为 visited。 d. 找到了一个长度为 len 的环，就把预处理好的 E[len] 加到 total_cost 上。 e. 所有位置都访问完后，total_cost 就是这个排列的答案啦！

这样，我们就能高效地解决问题了，喵~

代码实现

这是我根据上面的思路，精心重构的一份代码，注释超详细的，希望能帮到你哟！

cpp

#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>

// 定义一个很常用的模数，喵~
const int MOD = 998244353;

// 快速幂函数，用来求逆元，a^b % MOD
long long power(long long base, long long exp) {
    long long res = 1;
    base %= MOD;
    while (exp > 0) {
        if (exp % 2 == 1) res = (res * base) % MOD;
        base = (base * base) % MOD;
        exp /= 2;
    }
    return res;
}

// 求一个数的模逆元
long long modInverse(long long n) {
    return power(n, MOD - 2);
}

// 存储每个长度的环的期望花费
std::vector<long long> expected_cost;

// 预处理 E_k 的值
void precompute_costs(int n) {
    if (n < 2) return;
    
    // E_k = k/(k-1) * (k + sum_{j=1}^{k-1} E_j/j)
    // sum_val 存储 sum_{j=1}^{k-1} E_j/j
    long long sum_val = 0; // E_1 = 0, so E_1/1 = 0

    for (int k = 2; k <= n; ++k) {
        long long k_inv = modInverse(k);
        long long k_minus_1_inv = modInverse(k - 1);

        // 计算 E_k
        long long term1 = (k + sum_val + MOD) % MOD;
        long long term2 = (k * k_minus_1_inv) % MOD;
        long long E_k = (term1 * term2) % MOD;
        
        expected_cost[k] = E_k;

        // 更新 sum_val，为计算 E_{k+1} 做准备
        long long E_k_div_k = (E_k * k_inv) % MOD;
        sum_val = (sum_val + E_k_div_k) % MOD;
    }
}

void solve() {
    int n, m;
    std::cin >> n >> m;

    // 预处理期望花费数组
    expected_cost.assign(n + 1, 0);
    precompute_costs(n);

    std::vector<int> p(n + 1);
    std::vector<bool> visited(n + 1);

    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            std::cin >> p[j];
            visited[j] = false;
        }

        long long total_expected_cost = 0;
        
        // 寻找并处理每一个环
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            if (!visited[j]) {
                int current_node = j;
                int cycle_len = 0;
                
                // 遍历环，计算长度并标记
                while (!visited[current_node]) {
                    visited[current_node] = true;
                    cycle_len++;
                    current_node = p[current_node];
                }

                // 长度为1的环花费为0，已经初始化了
                if (cycle_len > 1) {
                    total_expected_cost = (total_expected_cost + expected_cost[cycle_len]) % MOD;
                }
            }
        }
        std::cout << total_expected_cost << "\n";
    }
}

int main() {
    // 加速输入输出，让我跑得更快！
    std::ios_base::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(NULL);

    solve();

    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度: $O(N + M \cdot N)$
- 预处理 expected_cost 数组需要一个从 2 到 $N$ 的循环，每次循环内部都是常数次模运算和求逆元（如果线性预处理逆元就是 $O(1)$ ，每次快速幂是 $O(\log MOD)$ ，但我们这里递推求逆元也是 $O(1)$ ）。所以预处理部分是 $O(N)$ 。
- 之后有 $M$ 个查询。对于每个查询，我们需要遍历整个排列来寻找环。由于每个元素只会被访问一次，所以找环的复杂度是 $O(N)$ 。
- 因此，总时间复杂度是 $O(N + M \cdot N)$ 。
空间复杂度: $O(N)$
- 我们需要大小为 $N+1$ 的数组来存储排列 p、visited 状态和预处理的 expected_cost。所以空间复杂度是 $O(N)$ ，喵~

知识点总结

这道题真是一次有趣的冒险，我们用到了不少好玩的工具呢！

置换环分解: 解决排列问题的基本操作，能将复杂问题分解成独立子问题。
期望的线性性: 一个超级强大的性质！ $E[X+Y] = E[X]+E[Y]$ ，它让我们能把一个复杂状态的期望分解成多个简单状态的期望之和，即使这些状态不独立！
期望DP: 建立关于期望值的递推关系。关键是想清楚当前一步的决策、花费，以及这一步之后会转移到哪些状态，以及这些状态的期望花费。
组合数学知识: “随机k-排列中长度为j的环的期望数量为 $1/j$ ” 这个结论是解题的钥匙。
模块化编程: 先预处理，再查询，是一种常见的解题模式，可以避免重复计算。
模数运算: 快速幂求逆元是必备技能，喵~

希望这篇题解能帮到你，如果还有问题，随时可以再来问我哦！一起加油，喵~！

AfricanSort - 题解 ​

标签与难度 ​

题目大意喵~ ​

解题思路分析 ​

第一步：看透排列的本质——环！ ​

第二步：化整为零，各个击破！ ​

第三步：建立期望 DP 方程 ​

最终算法流程 ​

代码实现 ​

复杂度分析 ​

知识点总结 ​